- •Тема 1.1. Випадкові події
- •1. 2 Частота та ймовірність випадкової події
- •1.3 Аксіоми тй та наслідки з них
- •1.8 Асимптотичні наближення формули Бернулі
- •Тема 1.2 Випадкові величини
- •2.1 Види вв.
- •2.2 Закони розподілу вв
- •2.3 Числові характеристики вв
- •2.4 Основні зр двв
- •2.5 Основні зр нвв
- •Тема 1.3 Система випадкових величин
- •3.1 Поняття про свв
- •3.3 Числові характеристики свв
- •Тема 1.4 Граничні теореми тй
- •4.1 Поняття про гт тй
- •4.2 Нерівність Чебишова
- •Тема 1. 5 Невипадкові функції випадкового аргументу
Тема 1.1. Випадкові події
1.1 Класифікація подій
Подія – це наслідок випробування. Випробування - реалізація певної сукупності умов, що може бути відтворена необмежене число разів. Події поділяються на випадкові, вірогідні та неможливі. Випадкова подія (А, В, С, …) – це подія, яка під час певного випробування може мати місце, а може не мати місця, але заздалегідь це не можливо передбачити. Вірогідна (U), яка в умовах даного випробування обов’язково матиме місце. Неможлива (V), яка в умовах даного випробування ніколи не матиме місця.
Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших в одному випробуванні. В протилежному випадку події називаються сумісними.
Рівноможливими подями назвемо , якщо будь-яка з них матиме місце в одному випробуванні з однаковими шансами. Випадкові події утворюють повну групу подій, якщо вони несумісні, але в результаті випробування одна з них обов’язково матиме місце. Протилежні події – 2 подіїї, які утворюють повну групу подій .
1. 2 Частота та ймовірність випадкової події
Частотою випадкової події А називають відношення кількості випробувань m, в яких подія А мала місце до загальної к-ті випробувань.
Коли к-ть експериментів стає досить великим(n), р* перестає бути вип.велич. і стабіл. біля числа ½.
Ймовірністю події А називається деяке число Р, до якого наближається відносна частота події А , якщо к-ть експериментів стає великим).
1.3 Аксіоми тй та наслідки з них
Аксіоматичне означення ймовірності – ймовірність події Ф називається число Р, яке задовольняє наступним аксіомам
0≤р≤1 – умова позитивності
р(U)=1 – умова нормування
Якщо подія А та В несумісні, то ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей.
Наслідки з аксіоми Колмогорова
р(V)=0
- ПГП
Якщо події утворюють ПГП, то ймов. їх суми = 1
Теорема сумісних подій
Якщо події А і В сумісні, то виконується наступне Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(ВС)-Р(АС)+Р(АВС)
При обчисленні ймовірності суми сумісних подій завжди намагаються перейти до суми несумісних подій
А+В=А+ *В
Р (А+В)=Р(А+ *В)=Р(А)+Р( *В)
В=АВ+ *В
Р(В)=Р(АВ)+Р( *В)
Р(В)- Р(АВ)= Р(А+В)- Р(А) Р(А+В)= Р(В)+ Р(А)- Р(АВ)
1.4 Способи обчислення ймовірностей
1)Статистичний (коли дані черпаються з експерименту)
2) Класичний (випробування проводяться подумки, моделюються)
«схему урн»: а) к-ть елем.подій в експерименті скінченна або нескінченна, але численна; б) елем.події в випробуванні повинні складати ПГП
3) Геометричний (коли к-ть елем.подій є нескінчен. і незлічен.)
1.5 Задача про без повторну виборку
В урні N куль. З них M – білі. Навмання з урни виймають n куль. Яка ймовірність того, що серед них m – білі?
.
1.6 Залежні та незалежні ВП. Правила множення ймовірностей
Дві події А і В залежні, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від того, що мала чи не мала місце інша подія в певному випробуванні. В протилежному випадку події називаються незалежними.
Для двох залежних подій А і В ймовірність їх добутку обчислюється за формулою , де – умовні ймовірності подій В та А відповідно.
Якщо події А і В незалежні, то .
1.7 Біноміальна схема (схема Бернулі)
На практиці часто зустрічаються випадки, коли проводиться не одне випробування, а декілька. Такі випробування називаються повторними, а їх сукупність – схемою повторних випробувань, або схемою Бернуллі. В кожному із таких випробувань може відбутися одна і та ж випадкова подія А. Якщо Р залишається незмінною для кожного випробування, то такі випробування будемо називати незалежними (відносно події А).
Ймовірність того, що в n повторних незалежних випробуваннях випадкова подія А відбудеться рівно m разів знаходиться за формулою Бернуллі:
,
де - число комбінацій, визначене формулою;
p – ймовірність появи події в одному випробуванні (р=Р(А));
q - ймовірність непояви події А в одному випробуванні