9. Оптимальные дискретные системы

Большинство понятий, введенных при рассмотрении непрерывных систем, без изменений переносятся на дискретные системы: управляемость, стабилизируемость, наблюдаемость, восстанавливаемость, обнаруживаемость. В силу специфических свойств дискретных систем отдельные определения требуют уточнения, в частности понятие управляемости дискретного объекта.

Если рассмотреть дискретную линейную нестационарную систему, описываемую уравнениями:

то замена интегрирования суммированием для дискретного варианта матрицы управляемости Грама приводит к выражению

,

где - переходная матрица дискретной системы, такой, что

,

и удовлетворяет уравнению

,

причём

.

Таким образом, справедливо

.

Тогда система управляема в том смысле, как обсуждалось в разделе 4, если ранг матрицы равен размерности вектора , то есть , или, другими словами, матрица невырождена.

При рассмотрении систем, инвариантных во времени, т.е. матрицы А, В и С постоянны, справедливо утверждение, что система вполне управляема, если ранг матрицы управляемости (7.6) равен . Если же исследуется вопрос управляемости по выходу для стационарной системы с выходом , то справедливо требование (4.8).

Точно так же можно рассмотреть и вопрос наблюдаемости (восстанавливаемости) дискретных систем. Для не инвариантных во времени систем критерием наблюдаемости является ранг матрицы

.

Критерий должен быть равен размерности вектора , а для инвариантных или, другими словами, стационарных систем с постоянными матрицами А, В и С справедливо требование (5.4).

Как и для непрерывных систем, для дискретных систем можно использовать понятия и критерии стабилизируемости, обнаруживаемости и произвести вывод уравнений наблюдателей полного и пониженного порядка подобно, как в разделе 5, с учётом методов перехода к дискретным изображениям дифференциальных уравнений.

9.1. Синтез оптимальной линейной системы при квадратичном критерии

Пусть объект описывается линейным уравнением

(9.1)

и задан критерий оптимальности

, (9.2)

где h(i) - известная векторная функция; F, Q(i) - симметричные неотрицательно определенные матрицы R(i) - симметричная положительно определенная матрица

Требуется найти оптимальное управление, при котором критерий (9.2) принимает минимальное значение при произвольном условии x(i₀)=x⁰.

Для решения задачи воспользуемся методом динамического программирования. Введем функцию Беллмана

,

. (9.3)

Уравнение Беллмана в этом случае принимает вид

,

из которого, используя уравнение объекта (9.1) и опуская для краткости записи аргумент i , получим

. (9.4)

Решение этого уравнения будем искать в виде

(9.5)

где k(i) - симметричная матрица; p(i) - вектор - столбец размера n; q(i) - скалярная функция.

В силу граничного условия (9.3) имеем:

Подставив (9.5) в (9.4), получим

Правая часть полученного соотношения как функция от управления является квадратным трехчленом, причем этот трехчлен имеет вид и является положительно определенной квадратичной формой, так как по условию R  0 и k(i) 0, i₀  i  i_f -1 (будет показано ниже). Поэтому указанный трехчлен имеет минимум, который достигается в стационарной точке, и последнее уравнение можно представить в виде эквивалентной системы уравнений:

(9.7)

Из последнего уравнения имеем

откуда после операции транспортирования получим соотношение для оптимального уравнения

(9.8)

где

(9.9)

k(i) - симметричная неотрицательно определенная матрица, определяемая следующим образом. Подставив выражение для управления и используя обозначение (9.9), уравнение (9.7) можно преобразовать к виду

Из последнего уравнения, приравняв отдельно матрицы при квадратичных и линейных относительно x членах, получим при граничном условии k(t_f)=p,

, (9.10)

где p(i) - вектор - столбец размером n определяется из уравнения

(9.11)

при граничном условии p(i_f) = 0. Приравняв в том же уравнении свободные члены, получим

. (9.12)

Если h(i) = 0, то p(i) = 0. Уравнение (9.12) при p(i) = 0 имеет единственное решение q(i) = 0, удовлетворяющее граничному условию (9.6). Поэтому при h = 0 функция (9.5) принимает вид

Из (9.3) следует S(x(i),i)  0 и k(i)  0 при любом i  [i₀ , i_f]. Так как уравнение (9.10), из которого находится матрица k(i) не зависит от h, то сказанное справедливо при любом h. В случае h=0 оптимальное управление имеет вид

(9.13)