Приложение 2 п2. Матрицы. Дополнительные сведения
Сингулярная
(вырожденная) матрица. Квадратная
матрица F называется
сингулярной, если
,
в противном случае F
называется несингулярной (невырожденной).
Ортогональная
матрица. Матрица F
называется ортогональной, если
,
здесь
транспонированная
матрица,
единичная
матрица.
Алгебраическое
дополнение
элемента
в квадратной матрице F
это значение определителя матрицы,
которое получается после вычеркивания
i-й строки и j-го
столбца из F, умноженного
на
.
Присоединенная
матрица для квадратной матрицы F,
получается из
путем замены
на
и
обозначается
,
т.е.
.
Минор матрицы
или определителя. Если в матрице А
размером
удалить
строк
и
столбцов (
)
так, чтобы осталась квадратная матрица
размерами
,
,
то определитель полученной матрицы
называется минором А порядка
.
Ранг матрицы. Если размер наибольшего минора матрицы А размером , отличного от нуля, равен , то говорят, что ранг матрицы А равен , т.е.
rank
A =
,
причем
Характеристическая матрица, характеристические уравнения и собственные значения
Собственные
векторы и собственные числа матрицы.
n-вектор x
называется собственным вектором матрицы
F, если
,
где
-
скаляр, который называют собственным
числом для F. Для отыскания
всех собственных чисел необходимо
решить характеристическое уравнение
.
Обратная матрица.
Матрица
называется обратной к F
, если
.
Так как
и если det
,
то
.
Для несингулярных (невырожденных) матриц справедливо
.
Транспонирование
произведения матриц. Если существует
произведение FG, то
Теорема
Кэли-Гамильтона. Если F
– квадратная матрица размера
,
то её характеристическому уравнению
представленному в виде степенного уравнения степени n относительно :
удовлетворяет сама матрице F:
.
Положительно
определенные матрицы. Квадратная
матрица
размером
называется положительно определенной,
если выполняются условия Сильвестра:
и т.д.
Эти условия необходимы и достаточны.
Если в этих условиях
знак «>» заменить на «
»,
то соответствующая матрица называется
положительно полуопределенной(неотрицательно
определённой). Если умножение матрицы
F на
приведет к положительно определенной
или положительно полуопределенной, то
такая матрица F называется
отрицательно определенной.
Дифференцирование матриц по скалярному аргументу
.
Дифференцирование
по векторному параметру. Пусть
,
скалярная функция векторного аргумента
.
Тогда производная от
по
равна:
