Цилиндрические поверхности
6.
Эллиптический цилиндр:
.
Как
видно из уравнения, плоскости
и
являются плоскостями симметрии данного
цилиндра. Сечение поверхности плоскостью
представляет собой эллипс
.
Сечения цилиндра плоскостями
и
являются парами параллельных прямых
и
соответственно.
7. Гиперболический цилиндр: .
8
.
Параболический цилиндр
.
9 . Гиперболический параболоид
рис.2.655
.
Из уравнения вытекает, что плоскости
и
являются плоскостями симметрии. Ось
называется осью гиперболического
параболоида с плоскостью
представляет собой гиперболы
,
с полуосями
,
при
,
а при
– сопряжённые гиперболы для гипербол
с полуосями
,
.
Заметим,
что плоскость
пересекает поверхность по двум прямым
,
являющихся асимптотами вышеуказанных
гипербол. Сечения плоскостями
и
являются параболами
и
соответственно.
Рассмотрим
примеры поверхностей вращения (вокруг
оси
):
Эллипсоид вращения эллипса:
,
.Параболоид вращения параболы:
,
.Однополостной гиперболоид получается при вращении гиперболы
вокруг оси
:
.
Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
Комплексным
числом
называется
упорядоченная пара
действительных чисел такая, что
выполняются следующие условия. Пусть
и
,
тогда:
;
;
.
Число
(первый элемент пары) называется
действительной
частью
числа
,
а
(второй элемент пары) – мнимой
частью.
Обозначим их через
,
.
Запись
комплексного числа в виде
не совсем удобна при выполнении
арифметических операций над комплексными
числами. Поэтому перейдем к алгебраической
форме записи комплексного числа. Пусть
.
Рассмотрим число
и умножим его на
:
,
т.е.
.
Используя
введённые обозначения
,
,
,
получим:
.
Такое представление называют алгебраической
формой
комплексного числа
.
Тригонометрическая:
Мы можем рассматривать полярные
координаты точки, изображающее комплексное
число
,
как модуль и аргумент этого числа. Таким
образом,
,
=
.
Тогда, учитывая
,
,
получим тригонометрическую форму числа
:
.
Пример.
Найти
модуль и аргумент числа
.
Решение:
,
,
,
рис.
3.10
Данная форма комплексного числа удобна для выполнения умножения и деления комплексных чисел, для возведения в степень и извлечение корня n-й степени.
Извлечь
корень n-й
степени из числа
– найти такое число
,
что
.
Пусть
,
а
.
Тогда
.Отсюда
получим:
,
.
Решим систему уравнений:
.
Таким
образом,
,
при
,
при
.
Т.е.
и
при
и при
совпадают, и различные корни будут
только при
.
Таким образом, решение уравнения
можно записать
,
.
Это решение имеет
различных значений, которые лежат на
окружности радиуса
и делят её на
равных частей, каждая из которых
получается поворотом на
против часовой стрелки относительно
.
Замечание.
Обозначение
не имеет однозначного смысла, поэтому
лучше его избегать.
Рассмотрим произведение:
Таким образом, при умножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично:
(показать
самостоятельно).
Возведение
числа
в n-ю
степень можно рассмотреть как произведение
одинаковых множителей. Тогда
получим формулу
Муавра:
.