Вопросы 1й семестр 1 курс
Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
1. 3.1. Высказывания
Определение 1. Высказыванием называется любое верифицируемое повествовательное предложение, т.е. предложение, относительно которого можно утверждать истинно оно или ложно.
Пример
«
»
– высказывание; «сегодня хорошая погода»
– не высказывание (для кого как!).
Определение 2. Предложение, содержащее переменную и обращающееся в высказывание при подстановке конкретных значений называют высказывательной формой.
Пример.
Определение 3. Множество всех возможных истинных интерпретаций высказывания называется смысловым полем (интерпретация – это форма представления информации).
Смысловое поле задано на своём универсуме – множестве всех возможных интерпретаций. Это позволяет высказывания, как и множества, изображать кругами Эйлера. В этом случае характеристическая функция для высказываний имеет вид:
.
A – высказывание, а – его интерпретация.
Определение
4. Сложным называется
высказывание, составленное из простых
с помощью логических операций:
ù
–
неверно, что;
–
конъюнкция;
–
дизъюнкция;
–
импликация;
–
эквивалентность; и кванторов:
–
существует,
–
для всех,
- тавтология
(всегда истинно).
Опишем эти операции, используя понятие смыслового поля:
или ù
А – неверно,
что А;
–дизъюнкция
(«или»), совокупность (disjunctio
– различие);
–конъюнкция («и»),
система (conjunctio
– союз);
–импликация,
теорема (implictio
– тесно связывать);
–
эквивалентность
(или
).
Это описание позволяет составить таблицы истинности для этих операций.
A |
B |
|
|
|
|
|
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
Теперь можно точно дать определения.
Определение 5
Дизъюнкцией
двух высказываний
и
называется новое сложное высказывание
,
которое истинно тогда и только тогда,
когда истинно хотя бы одно из высказываний
или
.
Определение 6. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А & В.
Определение 7. Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.
Определение 8. Импликацией двух высказываний и называется новое сложное высказывание , которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание истинно, а высказывание ложно.
Импликация
называется ещё теоремой.
Тогда говорят, что
достаточное
условие для
,
– необходимое
условие для
.
Теорема
называется прямой,
– обратной,
–
противоположная прямой,
– противоположная обратной.
Теорема
3.Теорема
эквивалентна дизъюнкции
.
Теорема 1.Теорема эквивалентна теореме .
Теорема 2.Теорема эквивалентна .