6. Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.

Определение 1. Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение одного из них с векторным произведением двух оставшихся .

Теорема 1. Критерий компланарности векторов

Векторы , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение .

Доказательство:

Пусть векторы , , .

Необходимость. Путь векторы , компланарны.

П о определению они лежат в одной или параллельных плоскостях. Совмести их начала, тогда все три вектора лежат в одной плоскости, отсюда . Следовательно, .

Достаточность. Пусть . Тогда либо , либо . Если , то векторы и коллинеарные, следовательно, векторы , , - компланарны.

Если , то вектор лежит в той же плоскости, что векторы и , т.е. , , - компланарны. ■

7. Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.

Л юбая плоскость задаётся своей нормалью (вектором, ортогональным данной плоскости) и точкой , лежащей на этой плоскости.

Базовая задача:

Возьмём произвольную точку . Вектор лежит на плоскости . Так как , то . Тогда . Раскрывая скобки, получим . Обозначим . Тогда уравнение называют общим уравнением плоскости.

Уравнение прямой

1. Если на плоскости задана некоторая система координат, то прямую можно провести через точку перпендикулярно вектору , называемого

нормалью к данной прямой. Тогда, выбрав произвольную точку так, чтобы векторы и были перпендикулярны, получим уравнение прямой :

, .

Обозначим через . Тогда уравнение называется общим уравнением прямой .

2. Проведём прямую через точку параллельно вектору , который называют направляющим вектором прямой . Выберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда – каноническое уравнение прямой.

Из последнего уравнения также можно получить общее уравнение прямой , заметив, что векторы и перпендикулярны, причём , .

Другие уравнения прямой:

Теперь проведём прямую через точки и . В ыберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда уравнение задаёт прямую , проходящую через точки и .

Преобразуем последнее равенство:

; . Тогда уравнение также задаёт прямую , где:

- угловой коэффициент, причём ( - угол наклона прямой к оси );

- свободный коэффициент, равный длине отрезка, отсекаемого прямой от оси .

8. Определение эллипса. Доказать его свойства.

Эллипсом называется линия на плоскости, если найдётся такая ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат), в которой уравнение примет вид .  и  называют полуосями эллипса (для определённости ), – линейным эксцентриситетом, точки и – фокусами, а ось – фокальной осью. Величину , называемую эксцентриситетом эллипса, можно рассматривать как меру его вытянутости: чем больше , тем меньше отношение . Прямые , задаваемые , называют директрисами эллипса.