Свойства скалярного произведения:

1. Коммутативность: .

Доказательство: . ■

2. Унитарность: , причём тогда и только тогда, когда .

Доказательство: . ■

3. Однородность: .

Доказательство: . ■

4. Дистрибутивность: .

Доказательство: . ■

5. Векторное произведение. Доказать его свойства.

Определение  1. Рассмотрим некоторую произвольную тройку некомпланарных векторов , , , приведённых к точке . Тройка векторов , , называется правой, если для неё выполняется правило буравчика: глядя с конца вектора и , можно увидеть, что кратчайший поворот от к происходит против часовой стрелки.

Определение  2. Векторным произведением векторов называется операция (рез ультат операции), которая любой упорядоченной паре векторов  и  ставит в соответствие вектор , обладающий следующими свойствами:

1. ;

2) вектор ортогонален каждому

из и ;

3. , , – правая тройка;

4. если и - коллинеарные, то = .

Замечание.  Геометрический смысл векторного произведения двух вектор ов и состоит в том, что модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Замечание. Механический смысл векторного произведения. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор

идёт из некоторой точки О в точку М, то вектор представляет собой момент силы относительно точки О.

Свойства векторного произведения:

1. Антикоммутативность: .

Доказательство:

Положим , . По определению векторы и имеют одинаковую длину. Также в силу того, что оба вектора и ортогональны к плоскости, определяемой векторами и , вектор коллинеарен вектору . Тогда либо , либо . Если бы имело место первое равенство, то по определению, обе тройки , , и , , оказались бы правыми, но это невозможно. Итак, . ■

2. Однородность: .

Доказательство:

Положим , . Пусть векторы и не коллинеарные и . Обозначим и . По определению , .

Возможны два случая:

Рис. 2.30

В обоих случаях , тогда . Далее, заметим, что векторы и коллинеарные. Остаётся проверить, что эти векторы имеют одинаковое направление.

Пусть , тогда векторы , а значит и векторы . Итак, . ■

3. Дистрибутивность:

Доказательство:

Для доказательства приведём две леммы.

Лемма 1. Векторное произведение произвольного вектора плоскости на единичный вектор , ортогональный плоскости , поворачивает вектор на угол по часовой стрелке, если смотреть с конца вектор .

Доказательство:

По определению , причём вектор ортогонален векторам и , значит, он лежит на плоскости . Тройка векторов , , правая, следовательно, поворот от вектора к вектору совершается на по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора . ■

Лемма 2. Векторное произведение произвольного вектора на единичный вектор равно , где – геометрическая проекция вектора на плоскость , ортогональную вектору .

Доказательство:

П о определению векторного произведения векторы . Рассмотрим их модули: ;

. По условию . ■

Теперь вернёмся к доказательству дистрибутивности . Для простоты рассмотрим вместо вектора е го орт . Пусть векторы , , некомпланарные. Обозначим , – геометрические проекции векторов на плоскость ортогональному вектору . Тогда по лемме 2 имеем , причём вектор получен поворотом вектора на угол по часовой стрелке (по лемме 1).

Аналогично, и , причём векторы и получены поворотами векторов и на угол по часовой стрелке, соответственно. Тогда сумма даёт нам вектор , т.е. .

Таким образом, мы показали, что . Умножим обе части равенства на , получим: . ■