![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
Определение 2.
Базисом
на плоскости
будем называть всякую упорядоченную
пару неколлинеарных векторов
.
Совокупность фиксированной точки
плоскости и произвольного базиса
на плоскости, приведенного к этой точке,
называется аффинной системой координат
(АСК)
.
Теорема2.
Пусть
некоторая АСК на плоскости. Тогда любой
вектор
этой плоскости можно представить в виде
,
и при том единственным образом.
Доказательство:
Покажем существование разложения вектора . Совместим начало вектора с точкой .
Проведём
через конец вектора
прямые, параллельные
и
.
Тогда
– параллелограмм. Отсюда
.
Но векторы
и
коллинеарные, значит
.
Аналогично, векторы
и
коллинеарные, значит
.
Тогда
.
Теперь докажем единственность разложения.
.
Пусть существует два разложения
по базису
:
и
такие, что
.
Тогда
или
.
Если
,
то
,
что означает коллинеарность векторов
и
и противоречит условию.
Аналогично,
если
,
то получим коллинеарность
и
,
что противоречит условию. Таким образом,
,
.
■
Такое
представление вектора
называется разложением
по базису
,
а числа
и
называются координатами
в АСК
.
Вектор
в этом случае можно записать так:
.
Замечание.
Если векторы базиса выбрать взаимно
перпендикулярными и имеющими единичную
длину, то такая АСК на плоскости носит
название
декартовой
прямоугольной системой координат
(ДПСК).
Базисные
вектора, входящие в ДПСК обозначают
и
(кратчайший поворот против часовой
стрелки от
к
).
На плоскости существуют и другие системы координат. Задавая на плоскости некоторую АСК, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел.
Определение 2.
Базисом
в пространстве
называется упорядоченная тройка
произвольных некомпланарных векторов.
АСК в пространстве называется совокупность
фиксированной точки
и некоторого базиса
,
приведённого к этой точке.
Теорема1.
Пусть
некоторая АСК в пространстве. Тогда
любой вектор
можно представить в виде
,
и притом единственным образом.
Доказательство:
Совместим начало вектора с началом координат точкой . Проведем через конец вектора две прямые:
первую параллельно вектору до пересечения с плоскостью, в которой лежат и ;
вторую параллельно плоскости, в которой лежат и , до пересечения с прямой, на которой лежит вектор .
Тогда
– параллелограмм, следовательно,
.
Вектор
лежит на плоскости, образованной
векторами
и
.
По теореме о разложении по базису на
плоскости имеем
.
Вектор
коллинеарен вектору
,
следовательно,
.
Таким образом
.
Нетрудно показать единственность разложения. ■
Скалярное произведение. Доказать его свойства.
Определение 1.
Скалярным произведением векторов
и
называется операция (результат операции),
ставящая в соответствии упорядоченной
паре векторов
и
скаляр,
равный произведению длин векторов на
косинус угла между ними.
.
Замечание.
Из
определения скалярного произведения,
следует, что
.
Замечание.
Заметим,
что
.
Если взять вектор
такой, что
,
то
.
Таким образом, скалярное произведение
одного вектора на другой, имеющий
единичную длину, равно проекции первого
вектора на направление, определяемое
вторым. В этом заключается геометрический
смысл
скалярного произведения.
Замечание.
Механический смысл скалярного
произведения.
Если рассмотреть действия силы
на
материальную точку при её перемещении
по вектору
,
то работа
,
совершаемая этой силой равна:
.