Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
«Вектор»
от лат. vehere
значит перемещать. Таким образом, вектор
и этимологически и созерцательно, это
прямолинейный направленный отрезок,
результат перемещения точки А в точку
В вне зависимости от количества
промежуточных точек
,
,…
Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
Определение
4. Рассмотрим
параллельные лучи
и
,
начинающиеся в точках
и 
.
Они всегда лежат в одной плоскости
,
которая делится прямой
,
проходящей
через
и
,
на две полуплоскости. Лучи
и
называются сонаправленными,
если
они лежат в одной полуплоскости, и
контранаправленными
в противном случае (рис. 2.3).
В случае, когда
и
лежат на одной прямой, то они называются
сонаправленными,
если их пересечение есть луч и
контранаправленными
-
если их пересечение не есть луч (рис.
2.4).
Вектором
называется преобразование пространства
,
переводящее произвольную точку
пространства
в точку
таким образом, что произвольная точка
переходит в точку
,
точку
,
причем лучи
и
сонаправлены, а расстояние между точками
и
:
равно расстоянию между точками
и
:
,
т.е.
.
Таким образом, направленный отрезок, о котором шла речь выше, можно рассматривать как модель вектора. Этот отрезок указывает, на какую величину и в каком направлении произошел сдвиг всего пространства.
Теорема1. Критерий линейной зависимости
Для
того чтобы система векторов
была линейно зависима, необходимо и
достаточно, чтобы существовали
действительные числа
,
не равные нулю одновременно, такие, что
.
(1)
(
,…,
– система
линейно зависима)
.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть
система
линейно
зависима. Тогда по определению хотя бы
один из векторов системы, например,
,
можно представить в виде линейной
комбинации остальных векторов:
.
Прибавим к обеим частям равенства –
,
получим:
.
Положим
,
,
не все
равны нулю одновременно, причем
выполняется равенство (1).
Достаточность.
Пусть существуют
,
такие, что
.
Среди чисел
,
по крайней мере, одно не равно нулю,
например,
.
Тогда получим
,
что означает по определению линейную
зависимость векторов
,…,
.
■
Теорема 2. Критерий линейной независимости
Для
того, чтобы система векторов
была линейно независимой, необходимо
и достаточно, чтобы равенство (1) влекло
за собой равенство нулю всех
.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть
,…,
линейно независимы. Предположим
противное, т.е. что имеет место (1) и из
него не следует
.
Тогда
,
а
.
По теореме 1 система
,…,
линейно зависима, что противоречит
условию.
Достаточность.
Пусть
равенство (1) влечет
.
Предположим, противное, т.е.
,…,
линейно зависимые. Тогда по теореме 1
найдутся
такие, что
,
что противоречит условию. ■
Пример. Доказать, что:
а)
векторы
и
линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они коллинеарные;
б)
векторы
,
,
линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они компланарны.
Доказательство:
а)
Пусть
.
Если
,
то
и коллинеарность
и
влечет линейную зависимость
и
.
Если
и
коллинеарные, то согласно признаку
коллинеарности, существует такое
,
что
,
т.е.
,
,
и линейная зависимость
и
очевидна.
б)
Пусть
,
и
компланарны. Если векторы
и
коллинеарные, то из доказанного следует
при некоторых
и
таких, что
.
Но тогда
,
причем
,
т.е.
,
,
линейно зависимы.
Пусть
теперь компланарные векторы
,
,
таковы, что
и
не коллинеарные. Тогда вектор
можно разложить по базису
:
.
Отсюда
,
причём
,
т.е.
,
,
линейно зависимы.