42. Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.

43. Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.

44. Конструкция определенного интеграла Римана.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на произвольных частей точками разбиения . В каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим длину отрезка . Обозначим сумму , которую назовем интегральной суммой Римана функции на отрезке , соответствующей данному разбиению отрезка и данному выбору точек .

Геометрический смысл интегральной суммы заключается в том, что это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотой (при выполнении условия ).

Обозначим через длину наибольшего отрезка разбиения : .

Определение 1. Если существует конечный предел интегральной суммы при и при условии, что он не зависит от разбиения отрезка и от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом Римана от функции на отрезке и обозначается .

Другими словами, : . Нетрудно видеть, что мы дали определение интеграла Римана в духе определения предела по Коши.

Будет полезным дать определение в духе определения предела по Гейне.

Определение 2. Функцию , для которой существует предел , называют интегрируемой по Риману. Множество всех интегрируемых по Риману на отрезке функций обозначают .

45. Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница

Т е о р е м а. Если функция интегрируема на отрезке и непрерывна в точке , то функция

(1)

дифференцируема в точке и

.

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что

,

где . Оценим модуль разности .

Заметим что и, следовательно, .

Поэтому будем иметь

(3)

Пусть задано . В силу непрерывности функции в точке , существует такое , что если и , то

(4)

Выберем так, что . Тогда для значении на отрезке, по которому ведется интегрирование, будем иметь и, следовательно, из (3) и (4) получим , а это и означает, что .

В том случае, когда совпадает с одним из концов отрезка , под следует подразумевать соответствующую одностороннюю производную функции .

Т е о р е м а 2 ( основная теорема интегрального исчисления ). Пусть функция непрерывна на . Если функция является её произвольной первообразной на этом отрезке, то

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция , как известно, является первообразной для на .

Таким образом, функции и две первообразные одной и той же функции на отрезке , поэтому

, ,

где некоторая постоянная, т. е.

При имеем

откуда

.

Следовательно,

.

Полагая здесь , получаем формулу

,

из которой следует, что определенный интеграл от функции на равен приращению какой-либо первообразной на этом отрезке.

Формула Ньютана-Лейюница

является основной формулой вычисления определенного интеграла.