28. Доказать существование второго замечательного предела.

Второй замечательный предел .

Доказательство:

Пусть . Положим . Тогда или . Имеет место неравенство . Так как , то . Из неравенства в силу того, что и имеем .

Теперь пусть . Положим . Теперь . Тогда . 

Следствия

1. .

2. .

3, в частности, .

4. , в частности .

Доказательство (4):

. 

5.

Доказательство (5):

. 

29. Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.

Непрерывность функции в точке

Определение 1Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется соотношение .

Определение 2

Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2*

Функция непрерывна в точке , если .

Определение 3

Функция называется бесконечно малой в точке , если .

Определение 4

Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. , где .

Свойства непрерывных функций в точке

Теорема 1

Пусть функции непрерывны в точке . Тогда непрерывны в точке .

Доказательство:

Докажем непрерывность произведения в точке . Так как функции и непрерывны в точке , то можно представить , где - БМФ в точке . Тогда . Перейдем к пределу при . Получим .

Определение 5

Пусть функция определена в некото-

рой окрестности точки , а определена в некоторой окрестности точки . Тогда функция называется композицией функции или сложной функцией, а операция образования называется операцией композиции.

Замечание 1

Так как , то , т.е. для непрерывной функции знак функции и предела можно менять местами.

Теорема 2. О непрерывности композиции функций

Пусть функция непрерывна в точке ; функция непрерывна в точке , причем . Тогда непрерывна в точке .

Доказательство:

По условию . Рассмотрим .

Определение 6

Функции назы-

вают основными элементарными функциями. Функции, полученные из основных элементарных с помощью арифметических операций и операции композиции называются элементарными.

Теорема 3

Любая элементарная функция непрерывна на своей области определения.

Пример 1

Покажем непрерывность в любой точке числовой оси.

Доказательство:

Рассмотрим . Тогда , что значит . Мы воспользовались тем, что . Действительно, если , то при . Тогда при . Если же , то .

30. Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.

31. Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.

Определение производной

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то он называется производной функции в точке :

.

Геометрический смысл производной

Заметим, что в – угол наклона хорды , где , а б - угла наклона касательной, проведенной к графику функции . Если , то . Это значит, что . Таким образом, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

Правила дифференцирования

Теорема 1. Пусть и - дифференцируемые функции в точке . Тогда:

1. ;

2. ;

3. , причем в некоторой окрестности точки .

Доказательство:

Докажем третье утверждение данной теоремы. Для этого рассмотрим приращение:

_.

Найдем предел:

. Таким образом, . ■

Теорема 2.Пусть функция дифференцируема в точке и биективна (т.е. наша функция имеет обратную функцию ). Тогда обратная функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство:

Рассмотрим приращение функции , т.е. . Тогда .

Так как функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, следовательно, малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции . ■

Замечание. Геометрический смысл производной обратной функции (рисунок)

Так как , где - угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , то .

Замечание. Если растет быстрее в раз, то отстает на раз.

Теорема 3. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в точке , которая является образом точки . Тогда функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство:

По условию функция дифференцируема в точке , т.е. . Тогда, используя дифференцируемость функции в точке , получим . Подставим в : .

Найдем предел . ■

Определение 1. Пусть . Говорят, что линия на плоскости задана параметрически, если ее точки имеют координаты . Таким образом, параметрическое задание данной линии равносильно ее явному заданию .

Теорема 4. Пусть функции дифференцируемы в точке , тогда функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство:

Рассмотрим ,

. По условию функция дифференцируема в точке , следовательно, непрерывна в этой точке, значит, бесконечно малому соответствует бесконечно малое .

Таким образом, . ■