![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Доказать основные теоремы о пределах.
Критерий Коши существования предела.
Для
любого
,
найдется
,
зависящее от
,
такое что
,следовательно
,
что равносильно:
(1)
Доказательство:
Необходимость.
Пусть соотношение (1)
выполняется. Покажем, что для любой
последовательности
,
последовательность
стремится к
при
.
Выберем какое-нибудь
.
По
найдем
из неравенства
,
т.е. определим окрестность
.
Зная
,
можно найти номер
,
начиная с которого
попадает в
(
- коридор точки
).
Тогда в силу соотношения (1) имеем
.
Это означает, что выполняется соотношение
(**) для последовательности
,
т.е.
.
Достаточность.
Пусть существует
.
Покажем, что выполняется соотношение
(1). Воспользуемся методом от противного.
Пусть
соотношение (1) не выполняется, т.е.
.
Так
как
,
то выполняется соотношение (**), т.е.
найдется номер
,
начиная с которого
.
Так как
любое, то выберем в качестве
.
Тогда
.
По теореме о «двух милиционерах» при
.
Но тогда в силу определения 2
последовательность
,
т.е.
(имеет место соотношение (**)). Получили
противоречие.
Доказать свойства БМФ.
Бесконечно малые функции и их сравнение
Определение 1
Функцию
называют БМФ
в окрестности точки
,
если
.
Определение 2
Функцию
называют ББФ
в окрестности точки
,
если
,
т.е.
.
Если
- БМФ в точке
,
то
-ББФ в точке
.
Например, функция
в
является БМФ, а
- ББФ в точке
.
Определение 3
Пусть
- БМФ в окрестности
точки
.
Тогда:
-
называют бесконечно
малой более высокого порядка малости,
чем
,
если
и обозначают
;
-
и
называют БМФ одного
порядка малости, если
;
и называют эквивалентными,
если
и обозначают
при
.
Теорема 1
Если
при
,
то
.
Доказательство:
Рассмотрим
.
Теорема 2
Пусть
при
.
Тогда их разность
является бесконечно малой большего
порядка малости, чем каждая из них, т.е.
и
при
.
Доказательство:
Рассмотрим
.
Аналогично,
.
Замечание
Полученный результат позволяет все экви-
валентности
записать в виде: если
при
,
то
.
Например,
и т.д.
Определение 4
Представление
функции
в окрестности
точки
в виде
,
где
- некоторая константа, называется
выделением
главной части
функции, при этом
называется главной
частью функции
в
,
а
- порядок малости этой
функции.
Пример
Вычислить
.
Выделим главные части в каждом слагаемом
числителя и знаменателя:
,
,
,
.
Тогда
Доказать существование первого замечательного предела.
Первый
замечательный предел
.
Д
оказательство:
рис
.6.3
.
Тогда
.
Из рисунка видно, что
,
,
.
Тогда
.
Так
как
,
то
.
В силу того, что
,
получим
.
Это неравенство имеет место и для
,
т.к. функции
и
четные. Легко показать, что
.
Следствия
( )
Доказательство (5):
.