Бмп. Доказать свойства бмп.
Последовательность
называется БМП
(бесконечно
малой последовательностью)
,
если для любого положительного
(эпсилон)
найдется номер, зависящий от ,
такой, что, как только n>N
выполняется неравенство
(
)
Теорема 1. Сумма двух БМП есть БМП.
Доказательство:
П
усть
и
- БМП. Тогда соотношение (*) имеет место
для каждой из данных последовательностей.
Выберем
,
тогда для последовательности
найдется номер
,
начиная с которого
,
а для последовательности
найдется номер
начиная с которого
Рассмотрим
последовательность
.
Пусть
тогда, начиная с номера
,
,
т.е. для
,
начиная с номера
.
Это означает, что последовательность
является БМП.
Следствие. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Теорема 2. БМП ограничена.
Доказательство:
Пусть
- БМП. Тогда для нее имеет место соотношение
(*), т.е. начиная с некоторого
члены
войдут в
-коридор.
Другими словами, из этого
-коридора
выпадает не более чем конечное число
первых членов последовательно-
сти
.
Пусть
,
тогда
,
что означает ограниченность
последовательности
.
Теорема
3.
Если
- БМП, а
ограничена, то последовательность
является БМП.
Доказательство:
Так
как
-БМП,
то имеет место соотношение (*). Выберем
и найдем номер
,
начиная с которого члены последовательности
войдут в
-коридор,
где число
.
Тогда, начиная с номера
,
будет выполняться неравенство
.
Следствие 1. Произведение двух БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Следствие 2. Произведение любого конечного БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Теорема
4.
Для того, чтобы последовательность
была БМП, необходимо и достаточно, чтобы
была ББП.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть
- ББП. Тогда имеет место соотношение
(*), т.е., начиная с некоторого номера
.
Пусть
,
тогда
,
т.е.
,
что означает:
- ББП.
Достаточность доказать самостоятельно.
Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
Если
последовательность
сходится, то она имеет единственный
предел.
Доказательство:
.
Пусть последовательность
имеет два предела, т.е.
,
,
для определенности. Так как
то имеет место соотношение (**), т.е.
начиная с некоторого номера
.
Так как
то выполняется (**), т.е. начиная с некоторого
номера
.
Пусть
тогда,
начиная с номера
.
Пусть
Тогда пересечение этих двух множеств,
задаваемых неравенствами, пусто, т.е.
нашлось, по крайней мере, одно
для которого не выполняется (**). Это
означает, что предела не существует.
Доказать свойства последовательностей, имеющих пределы.
Последовательности бывают:
1. ограниченные;
Бмп (бесконечно малые последовательности);
3. Неограниченные;
4. ББП (бесконечно большие последовательности).
Определение
2.Последовательность
называется ограниченной,
если существуют такие действительные
числа m
и M
(
),
что
(для
любого натурального числа n).
Определение
2*.Пусть
(А
– максимальное из чисел m
и
M).
Тогда последовательность
называется ограниченной,
если
.
Пример.
Последовательность
0,1,0,1, ... ограничена, т.к.
Определение 3.Последовательность называется БМП (бесконечно малой последовательностью) , если для любого положительного (эпсилон) найдется номер, зависящий от , такой, что, как только n>N выполняется неравенство
( )
Пример.
Рассмотрим последовательность
.
Для того, чтобы
необходимо, чтобы
,
т.е.
(
– целая часть числа
).
Задавая
некоторые значения, будем получать
номер
,
начиная с которого члены последовательности
попадут в
-коридор.
Например, если
=10,
то
=0,
тогда
=1;
если
=1,
то
=1,
тогда
=2;
если
=0,1,
то
=10,
тогда
=11,
и т.д.
Замечание. Обычно БМП обозначают первыми буквами алфавита.