15. Визначення оцінок параметрівв парної лінійної кореляційно-регресійної моделі.

Припустимо,що маємо n пар(х_і,у_і), і=1,n незалежних спостережень, проведених над двовимірним випадковим вектором(Х,У). На підставі цих даних нам потрібно побудувати ПЛКРМ, тобто пряму лінію регресії. = В₀+В₁ x. Пряма регресії повинна перебувати найближче до всіх точок спостережень (х_і,у_і), і=1,n

Щоб отримати оцінку b₀,b₁ невідомих параметрів кореляційного зв’язку застосуємо метод найменших квадратів. Значення параметрів b₀,b₁ є точкою мінімуму функції. Q(b₀,b_1­) =

Необхідну умову екстремуму функції записують як систему рівнянь.

, тобто . Після відповідних перетворень отримаємо систему:

це є система нормальних рівнянь для визначення параметрів b₀,b₁.

Для обчислення коефіцієнтів В₀ та В₁ використовують і простіші формули:

= .

Враховуючи, що – коваріація змінних х та у, вибіркова дисперсія змінної х, остаточно маємо: (1).

Вибіркову дисперсію D_x називають зміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності D(x) : E(D_x)= . Тому для вибірок малих обсягів( n<30) за оцінку дисперсії генеральної сукупності беруть виправлену вибіркову дисперсію – варіанту . Арифметичне значення квадратного кореня з варіанси називаюит стандартом: S_x = +

Щоб відобразити коефіцієнт регресії b₁ у формулі (1) та і в інших формулах, у яких фігуруватимуть дисперсії D(S²) та середні квадратичні відхилення при малих обсягах вибірки n ці величини потрібно заиінювати на виправлені оцінки: варіансу s² та стандарт s.

ПЛКРМ можна зобразити так: . Це є рівняння прямої,яке проходить через точку: ( з кутовим коефіцієнтом b₁, тобто пряма регресії у на х проходить через точку ( . ПЛКРМ відображає зв’язок між змінними у та х в інтервалі [x_min, x_max], визначену емпіричними значеннями факторної ознаки. Цей інтервал називають областю існування моделі.

16.Економетрична інтерпретація параметрів парноїмоделі. Випадкові відхилення.

Проведемо економічну інтерпретацію параметрів ПЛКРМ .

1.Параметр b1 (коефіцієнт регресії, тангенс кута нахилу прямої).

- Якщо параметр b₁ відмінний від 0, то на підставі даних вибірки можна стверджувати, що між змінними у та х наявна лінійна кореляційна залежність.

- Якщо параметр b₁ = 0 то на підставі даних вибірки лінійної кореляційної залежності між змінними немає.

- Якщо параметр b₁ від’ємний, то при збільшенні факторної ознаки середнє значення результуючої змінної у спадає.

- Якщо параметр b₁ додатній, то при збільшенні факторної ознаки середнє значення результуючої змінної у зростає.

- Абсолютне значення параметра b­₁ показуэ величину змыни результуючоъ змінної у на одну одиницю приросту факторної ознаки х:

2. Параметр b0 ( вільний член рівняння регресії, початкове значення результуючої змінної).

Значення параметра b₀ можна трактувати як середній рівень результуючої змінної при нульовому значенні факторної ознаки.

3.Випадкові відхилення.

Побудувавши ПЛКРМ, можна обчислити відхилення е_і­ , і=1,n фактичних значень результуючої змінної у_і від відповідних теоретичних : е_і= у_і - .(1)

Ці відхилення називають випадковими відхиленнями. Враховуючи (1) ПЛКРМ можна зобразити як:

у=b₀+b₁x+e , де е-випадкова змінна,розподіл якої задано вибіркою (е₁, е₂, ... , е_n)/

Випадкові відхилення e_i дають змогу оцінити ефективність використання факторної ознаки та резерви зміни результуючої змінної.