13.Узагальнена та вибіркова парні лінійні кореляційно-регресійні моделі.

При аналізі соціально-економічних проблем найчастіше зустрічаються лінійні зв'язки і залежності, тобто зв'язки між досліджуваними ознаками досить точно описуються лінійними моделями. Нехай нам задано дві економічні змінні х та у. Будемо вважати, що зв'язок між цими змінними описується лінійним рівнянням регресії y=b₀+b₁x+ (1), де у — результуюча змінна; b₀ та b₁ - істинні параметри зв’язку, значення яких нам невідомі; — випадкова величина, х -факторна змінна.

Рівняння, яке аналітично моделює залежність середньої величини результуючої ознаки від факторної змінної, називається рівнянням регресії. В цьому рівнянні b₁ називається коефіцієнтом регресії, b₀ - вільним членом рівняння регресії. Рівняння (1) узагальненою парною лінійною кореляційно-регресійною моделлю.

При побудові такого рівняння необхідно враховувати одиниці виміру змінних х та у . Параметри b₀ та b₁ для кожного спостереження величини у залишаються постійними, величина набуває різних значень.

Наше завдання на основі заданих статистичних значень х та у дати оцінку В₀ та В₁ параметрів b₀ та b₁. Таким чином необхідно знайти рівняння регресії = В₀+В₁ x (2) ,де - теоретичні значення результуючої змінної у для заданих значень змінної х.

Рівняння ( називають) вибірковою парною лінійною кореляційно-регресійною моделлю.

Статистичні (емпіричні) дані, на підставі яких будують модель (2) — це вибірка значень (х_i, у_i), і = 1,п двовимірного випадкового вектора (X, У). Век­тор Х = (х₁, x₂,..., х_п) будемо називати вектором спостережень за факторною ознакою х, вектор У = (у₁, у₂,...y_п) будемо називати вектором спостережень за результуючою змінною у. Вважатимемо також, що значення параметрів (B₀, B₁ моделі (1) для кожного спостереження залишаються постійними, випадкова величина набуває різних значень, проте її неможливо спостері­гати. Отже, можна говорити про вектор W = ( ₁, ₂, ..., _n) значень випадкової величини , значення якого містить вектор У.

14. Оцінювання параметрів економетричних моделей.

Параметри економетричної моделі оцінюють на підставі вибіркових даних, тому властивості їхніх оцінок та методи отримання цих оцінок практично збігаються з аналогічними характеристиками оцінювання невідомих параме­трів розподілів випадкових величин.

Нехай розподіл генеральної сукупності випадкової величини х, з якої отримано вибірку x₁,x₂...x_n

залежить від параметра , значення якого нам невідоме, і нехай а =f(х₁, х₁,..., х_п) — деяка відома нам функція елементів цієї вибірки. Оскільки числа x₁,x₂...x_n фіксовані, то а для заданої вибірки є конкретним числом, яке можна вважати наближенням до невідомого параметра , оцінкою цього параметра . Очевидно, вибір функції f(х₁, х₂, ..., х_п), тобто вибір способу оці­нювання невідомого параметра а, визначає степінь наближення оцінки а до істинного значення параметра . Однак оцінка а може лише випадково збіга­тися з а хоча б тому, що а є константою, а а, як функція елементів вибірки, є випадковою величиною: кожна інша вибірка того самого обсягу п із тієї самої генеральної сукупності при тій самій статистиці f(х_1; х₂, ..., х_п) визначить інше значення а. Отже, важливим є те, наскільки великою є похибка а - , тобто наскільки може відхилятися при вибраному способі оцінювання f(х_1; х₂, ..., х_п) для різних вибірок одного і того самого обсягу п оцінка а від істинного значення параметра розподілу а. За міру розсіювання а в околі обрано мате­матичне сподівання Е((а - ) ²). Серед усіх оцінок а з однією і тією самою дис­персією D(а) найменше значення розсіювання мають оцінки, для яких Е(а) = .

Є 6 критеріїв оцінювання:

1.Оцінку а називають незміщеною оцінкою параметра а, якщо Е(а) =

Наприклад, із теорії ймовірності та математичної статистики відомо, що вибіркове середнє значення Е_х = є незміщеною оцінкою математичного сподівання Е(х) генеральної сукупності, а вибіркова дисперсія D_x є зміщеною оцінкою дисперсії D(x) генеральної сукупності. Незміщеною оцінкою дисперсії розподі­лу: випадкової величини х є виправлена вибіркова дисперсія — варіанса . Незміщеність оцінки а параметра а означає, що при багаторазовій заміні середнє значення а- =0, тобто похибка від заміни невідомого параметра на його оцінку а, не має систематичного характеру.

2.Незміщену оцінку а параметра а називають ефективною.

D(a) = inf_a:E(a)=aD(a)

Зі збільшенням обсягу вибірки п змінюється й оцінка а невідомого параметра розподілу , тобто при п→∞ маємо деяку послідовність оцінок а_1; а₂, ..., а_п.

3.Оцінку а_п параметра а називають спроможною (консистентною ,якщо

1іmР(a_n - |< ) = 1 для будь-якого > 0, тобто коли вона при п→∞ прямує за ймовірністю до .

п→∞

4. Оцінку а називають оцінкою з найменшою середньою квадра­тичною помилкою (MSE-оцінкою), якщо величина

= Е((а - а)²) є найменшою.

5. Оцінку а параметра а називають достатньою, якщо функція f(x_1, х₂, ..., х_n) використовує всю вибіркову інформацію.

6. Оцінку а параметра а називають найкращою лінійною оцінкою (Blue-оцінкою), якщо вона ефективна, а функція f(x_1, х₂, ..., х_n) є лінійною функцією.