49.Суть компонентного аналізу

Компонентний аналіз (метод головних компонент) – спосіб заміни системи заданих корельованих між собою показників (факторів) на таку ж кількість нових некорельованих показників (головних компонент).

У такій системі головні компоненти будуть вже не лише некорельованими, але й упорядкованими за спаданням їхніх дисперсій.

Компонентний аналіз можна ефективно використовувати, коли аналізують показники діяльності соціально-економічних об’єктів. У цьому разі показники, як правило, корельовано між собою, тому що багато соціально економічних показників тісно взаємопов’язані. Наприклад, між такими економічними показниками регіону чи підприємства, як величина введених у дію основних засобів, кількість людей, що працює, кількість нових технологічних процесів, які впровадили у виробництво, є тісний взаємозв’язок, змінна доходу споживача та цінова змінна на деякий товар також можуть корелювати.

Компонентний аналіз дає можливість дослідити взаємозв’язки між показниками, виправляючи мультиколінеарність під час проведення багатофакторного КР аналізу, підготувати якісну інформацію для багатовимірної класифікації соціально-економічних об’єктів.

50. Метод головних компонент

51. Методи класифікації соціально-економічних об’єктів. Дискримінантний аналіз.

Під класифікацією соціально-економічних об’єктів будемо розуміти їх розподіл на однорідні відносно деяких спільних ознак групи..

Використовують два типи класифікації соціально-економічних об’єктів: -класифікація із навчальною вибіркою – дискримінант ний анліз; -класифікація без навчальної вибірки – кластерний аналіз.

Завданням класифікації першого типу є побудова на підставі заданих вибірок, які характеризують дві (чи більше) сукупності об’єктів, правила, що дає можливість віднести будь-який новий об’єкт до однієї із заданих сукупностей. Суть дискримінантного аналізу розглянемо на прикладі двох сукупностей об’єктів, які мають три спільні ознаки. Припустімо, що задано дві сукупності (класи) об’єктів, які мають тривимірний нормальний розподіл з невідомими, але рівними між собою коваріаційними матрицями. Із цих сукупностей взято навчальні вибірки X та Y обсягами n₁ та n₂ відповідно: ; .

i-й рядок матриці X (x_i1, x_i2, x_i3), представляє деякий об’єкт першої сукупності, j-й рядок матриці Y(y_i1, y_i2, y_i3), представляє деякий об’єкт другої сукупності.

Припустімо, що є третя сукупність об’єктів, які також мають три ознаки, спільні для заданих двох сукупностей. Третя сукупність об’єктів задана вибіркою Z обсягом l:

k-й рядок матриці Z (z­_­­k1, z_k2, z_k3), представляє деякий об’єкт третьої сукупності. Метою дискримінантного аналізу є віднесення довільного об’єкта третьої сукупності (будь-якого рядка матриці Z) або до пршої сукупності об’єктів, або до другої сукупності об’єктів.

На підставі даних вибірки X та Yобчислимо вектори середніх значень для кожної із трьох ознак і побудуємо коваріаційні матриці C_x та C_y:

де

Тоді вектор оцінок коефіцієнтів дискримінативної функції D = має вигляд D = C^-1( ). (3.57)

Оцінки U_X та U_Y дискримінантної функції для матриць вхідних даних знаходять за формулами U_X = XD; U_Y = YD, де U_X – вектор-стовпець розмірності n₁; U_Y – вектор-стовпець розмірності n₂.

Межу дискримінації (критерій класифікації) а^кл визначають за формулою

а^кл = – середнє значення вектора U_X; – середнє значення вектора U_Y.

Оцінку дискримінантної функції для k-го рядка матриці Z, яка характеризує k-й об’єкт третьої сукупності, що підлягає дискримінації (класифікації), обчислюють за формулою а^ем = (z_k1, z_k2, z_k3) z_k1d₁ + z_k2d₂ + z_k3d₃. (3.59) якщо а^ем а^кл, то k-й об’єкт третьої сукупності належить до першої сукупності, якщо ж а^ем а^кл, то k-й об’єкт третьої сукупності належить до другої сукупності.