47.Двофакторний дисперсійний аналіз

Припустімо, що нам необхідно дослідити залежність деякої нормально розподіленної випадкової величини у від двох факторних ознак А та В. Для фактора А можна виділити m рівнів, а для фактора В – n рівнів. Щоби дослідити вплив факторів А та В на результуючу змінну у, ми маємо вибірку незалежних спостережень над цією змінною, елементи якої можна згрупувати на m груп за рівнями фактора А та на n груп за рівняннями фактора В.

Позначимо через той елемент заданої вибірки, який має і-ий вияв фактора А та j-ий вияв фактора В. У такому разі всі елементи вибірки можна подати як таблицю.

Так само, як і в разі однофакторного дисперсійного аналізу, можна довести, що справедлива рівність:

Ця рівність показує, що загальну суму квадратів відхилень результуючої змінної у від середнього вибіркового розкладають на суму квадратів відхилень між групами фактора А, суму квадратів відхилень між групами фактора В та суму квадратів відхилень у групах.

Кількість ступенів вільності лівої частини рівності, отже, дорівнює mn, першого доданка правої частини m-1, другого - n-1, третього – mn-(m+n-1)=(m-1)(n-1). Очевидно, що mn – 1= (m-1)+(n-1)-(m-1)(n-1)

Щоби виявити вплив на результуючу змінну у фактора А, фактора В та їх спільні дії, формулюють три незалежні нульові гіпотези:

• : фактор А не впливає на результуючу змінну (генеральну сукупність);

• : фактор В не впливає на результуючу змінну ;

• : сукупний вплив факторів А та В на результуючу змінну відсутній.

Щоби перевірити гіпотезу , використовують критерій Фішера , для того, аби перевірити гіпотезу , статистику , а для перевірки гіпотези

-використовують статистику .

Нульові гіпотези , та перевіряють за такою самою схемою, що ай при однофакторному дисперсійному аналізі.

48.Трифакторний дисперсійний аналіз.

Припустимо, що нам потрібно дослідити залежність нормально розподіленої випадкової змінної у від трьох факторних ознак А,В,С. Також маємо вибірку у₁,у₂,....у_N незалежних спостережень, елементи якоъ можна згрупувати на n груп за рывнянням фактора А, та n груп за рівнянням фактора В та l груп за факторною ознакою С. Припустимо також, що у кожній з класифікаційних груп задано лише одне спостереження, тобто кількість класифікаційних груп mnl дорівнює N. Позначимо через у_ijk той елемент вибірки, який має i-й вияв фактора А, j- тий прояв фактора В, та k-тий вияв фактора С. Дані вибірки можна подати як k таблиць. (табл. 1.)

Вибіркова сукупність спостережень над результуючою змінною

А	В	1		2		...		j		...		n
1			y11k		y12k		...		y1jk		...		y1nk
2			y21k		y22k		...		y2jk		...		y2nk
...			...		...		...		...		...		...
i			yi1k		yi2k		...		yijk		...		yink
...			...		...		...		...		...		...
m			ym1k		ym2k		...		ymjk		...		ymnk

Так само можна показати, що загальну суму квадратів відхилень результуючої змінної у від середнього вибіркового розкладають на сім доданків, перші 3 з яких є сумами квадратів відхилень між групами та факторами А,В,С відповідно, наступні три – сумами квадратів відхилень між групами, спричиненими спільною дією факторів АВ, ВС та АС відповідно, останній доданок є залишковою сумою квадратів відхилень: + n l (1)

Ступені вільності членів рівності (1) утворюють рівність: mnl-1=(m-1)+(n-1)+(l-1)+(m-1)(n-1)+(n-)(l-1)+(m-1)(l-1)+(m-1)(n-1)(l-1).

Після деяких перетворень з рівності(1) маємо:

s² = + , де >0, i=1,7 ,

Щоб проаналізувати вплив факторних ознак А,В,С на результуючу змінну у викорисовують статистики Фішера , , , а для аналізу сумісного парного впливу факторів–статистики ;