32. Економетричний зміст параметрів багатофакторної моделі

Коефіцієнт регресії ПЛКРМ (коефіцієнт парної регресії) відображає умовний вплив факторної ознаки на результуючу змінну. Умовність впливу факторної ознаки полягає у тому, що цей вплив є результатом дії ознаки спільно з іншими факторами, кореляційно пов’язаними з нею. Отже, коефіцієнт парної регресії показує вплив факторної ознаки на результуючу змінну на «фоні» решти факторів, кореляційно пов’язаних із факторною ознакою парної моделі, до того ж цей «фон» може змінюватись зі зміною факторної ознаки. Наявність такого «фону» призводить до виникнення явища, яке при дослідженні кореляційного зв’язку між змінними за допомогою кількох парних моделей називають подвійним рахунком.

Коефіцієнт множинної регресії bj, відображає чистий вплив фактора x_j на результуючу змінну (якщо множинна ЛКРМ містить усі фактори, які впливають на результуючу змінну). У цьому разі сумісний вплив усіх факторних ознак розподіляється між ними відповідно до вагових коефіцієнтів, що оцінюють ступінь дії кожного фактора на результуючу змінну, а «фон» впливу кожного фактора залишається фіксованим. Однак реально кількість усіх факторних ознак, які впливають на результуючу змінну, настільки велика, що враховувати їх у множинній ЛКРМ фактично неможливо. Тому під час побудови моделі серед усіх факторів вибирають три-п’ять найважливіших, вплив інших є неістотним, але знову ж таки створює деякий «фон», якщо вони кореляційно пов’язані з вибраними факторами. У такому разі вважають, що коефіцієнт множинної регресії b_j, відображає умовно чистий вплив фактора x_j на результуючу змінну. Якщо у багатофакторну КРМ включити ще один фактор, то ступінь умовності коефіцієнтів множинної регресії зменшується і , якщо факторні ознаки пов’язані між собою кореляційною залежністю, чисельні значення коефіцієнтів регресії також зменшуються.

Вільний член множинної ЛКР b₀ оцінює середнє значення результуючої змінної при нульових значннях факторних ознак, а також указує на те , що для середніх значень усіх змінних, котрі містить модель, вона є точною:

33. Матричний підхід до побудови множинної лкрм

Під час дослідження залежності результуючої змінної y від факторних ознак x₁, x₂,…,x_k введемо до розгляду ще один умовний (фіктивний) фактор x₀, який завжди дорівнює 1. Множину ЛКРМ можна записати як: b₀x₀ + b₁x₁ + b₂x₂ +…+ b_kx_k або y = b₀x₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_kx_k+e.

Запишімо останнє рівняння для кожного окремого спостереження:

Введімо позначення Y=(y₁, y₂,…,y_n)^T – n-вимірна матриця-стовпець спостережень за результуючою змінною y; X_j=(x_j1, x_j2,…, x_jn)^T, j = – n-вимірні матриці-стовпці спостережень за факторними ознаками x₀, x₁, x₂,…, x_k;

– матриця розмірності n*(k+1), стовпцями якої є матриці-стовпці спостережень за факторними ознаками x₀, x₁, x₂,…, x_k (матриця спостережень);

B=(b₀, b₁, b₂,…, b_k)^T – (k+1) – вимірна матриця-стовпець невідомих параметрів моделі;

W=(e₁, e₂,…, e_n)^T – n-вимірна матриця-стовпець випадкових відхилень моделі.

Використовуючи введені позначення, систему рівнянь (3.14) можна записати так: Y=XB+W. (3.15)

Рівняння (3.15) є записом вибіркової множинної ЛКРМ у матричному вигляді. Згідно з методом найменших квадратів, необхідно, щоби .

Враховуючи (3.15), маємо: тому що Y^TXB=B^TX^TY.

Беручи від останнього виразу часткові похідні по компонентах вектора В та прирівнюючи їх до нуля, отримаємо: -2X^TY+2X^TXB=0 або X^TXB=X^TY. (3.16)

Система (3.16) є системою нормальних рівнянь для визначення вектора В параметрів моделі. Якщо матриця X^TX є не виродженою, то B=(X^TX)^-1X^TY. (3.17)

Увівши дисперсійно-коваріаційну матрицю факторних ознак розмірності k*k, а також k-вимірну матрицю-стовпець параметрів моделі В=(b₁, b₂,…, b_k)^T та k-вимірну матрицю-стовпець коваріацій результуючої змінної V=(cov_1y, cov_2y,…, cov_ky)^T, систему нормальних рівнянь для визначення параметрів b₁, b₂,…, b_k моделі можна подати так: CB=V, звідки B=C^-1V. (3.18)

Якщо використати кореляційну матрицю факторних ознак розмірності k*k, k-вимірну матрицю-стовпець стандартизованих параметрів моделі B*=( )^T та k-вимірну матрицю-стовпець кореляцій результуючої змінної T=(r_1y, r_2y,…, r_ky)^T, то систему нормальних рівнянь для визначення стандартизованих параметрів моделі можна записати так: RB*=T, звідки B*=R^-1T. (3.19)

Розглянемо дещо ширший підхід до отримання оцінок параметрів множинної ЛКРМ.

Введемо позначення

B=(b₀, b₁, b₂,…, b_k)^T – (k+1) – вимірна матриця-стовпець невідомих параметрів узагальненої множинної ЛКРМ;

W=(e₁, e₂,…, e_n)^T – n-вимірна матриця-стовпець випадкових величин узагальненої множинної ЛКРМ.

Тоді узагальнену множинну ЛКРМ у материчному вигляді можна записати так: Y=X +W.

Як відомо, серед основних припущень класичного КР аналізу є припущення про незалежність випадкових величин та гомоскедастичність моделі (припущення 2, припущення 3). У матричному вигляді ці припущення мож: E(W*W^T) = I, де E(W*W^T) – математичне сподівання добутку матриць W*W^T; – стала дисперсія випадкових величин: , I-одинична матриця.

Справді оскільки E( )=0, згідно з припущенням 2.

Припустімо, що умова про гомоскедастичність моделі не виконується, тобто E(W*W^T) = S, де S-відома симетрична додатно визначеня матриця розмірності n*n.

У цьому разі модель гетероскедатична, а дисперсіяя випадкових величин відома з точністю до сталого множника .

Щоби під час оцінювання параметрів моделі можна було застосувати метод найменших квадратів, необхідно перетворити змінні моделі Y та X у нові змінні Y* та X*, які відповідали б умовам: Y^*=X^* +W^*; E(W^*)=0; E(W^**W^*T)=

Відомі кілька методів такого перетворення. Один із них ґрунтується на теоремі алгебри матриць, згідно з якою для симетричної додатно визначеної матриці S можна знайти єдину не вироджену симетричну матрицю P таку, що S=PP^T.

З останньої рівності маємо P^-1S(P^T)^-1=I.

Враховуючи, що (P^T)^-1P^-1=S^-1, P^-1Y⁼P^-1X +P^-1W,

Отримаємо рівняння Y^*=X^* +W^*, (3.20) де Y^*=P^-1Y; X^*=P^-1X; W^*=P^-1W.

Аналогічно до попереднього, можна показати, що E(W^**W^*T)=

Тобто для оцінювання параметрів моделі (3.20) можна використати метод найменших квадратів. На основі формули (3.17) маємо B=(X^*TX^*)^-1X^*TY^*.

Враховуючи вирази для Y* та X*, отримаємо

B=((P^-1X)^TP^-1X)^-1(P^-1X)^T(P^-1Y)=(X^T(P^-1)^TP^-1X)^-1X^T(P^-1)^TP^-1Y.

Остаточно B=(X^TS^-1X)^-1X^TS^-1Y.

Оцінювання параметрів множинної ЛКРМ за формулою (3.22) називають узагальненим методом найменших квадратів або методом Ейткена.