25. Похибка індивідуального прогнозу

Оцінювання індивідуального значення результуючої змінної містить стандартну похибку моделі СПВ параметрів моделі, тому, згідно з теоремою про дисперсію суми випадкових величин, . Маємо: .

На підставі вибіркової похибки при заданому значенні довірчої імовірності p можна знайти граничну похибку індивідуального прогнозу та побудувати довірчі інтервали для істинного значення члена рівняння регресії:

Геометрично довірчий інтервал інтерпретуються смугою між двома гіперболами. Із формули випливає, що при фіксованих та необмеженому збільшенні обсягу вибірки похибка індивідуального прогнозу прямує до : , тобто точність оцінювання індивідуального значення результуючої змінної завжди обмежена знизу стандартною похибкою моделі. Тому, якщо обсяг вибірки досить великий, точність індивідуального прогнозу може бути оцінена похибкою моделі.

26. Оцінювання коефіцієнта кореляції

Коефіцієнт кореляції r не є нормально розподіленою випаковою величиною, його областю визначення є інтервал [-1;1]. Найчастіше відмінність розподілу коефіцієнта кореляції від нормального виражена при тісному зв’язку між змінними, тобто коли коф кореляції за абсолютним значенням близький до 1.

Щоб мати змогу оцінити коефіцієнт кореляції у разі коли його значення не наближене до 0, Фішер у 1921 році запропонував такий метод

Для оцінки коефіцієнта кореляції спочатку перейдемо від випадкової змінної r до випадкової змінної z:

Фішер довів, що випадкова змінна z розподілена за нормальним законом є математичним сподіванням:

Де -істинне значення коефіцієнта кореляції для генеральної сукупності та дисперсією:

Стандартна вибіркова похибка випадкової величини z буде рівна:

а відповідно гранична вибіркова похибка z при заданому значенні довірчої ймовірності ρ –

Припустімо, – невідоме значення випадкової величини z, яке відповідає істинному значенню коефіцієнта кореляції . Тоді довірчий інтервал для змінної має вигляд:

Де -значення випадкової величини z, яке відповідає вибірковому значенню коефіцієнта кореляції r.

Для зручності ми ввели позначення:

випадкової величини z, яке відповідає вибірковому значенню кофа кореляції r

Тоді , здійснимо обернене перетворення від змінної z до змінної r за формулою:

Отримаємо довірчий інтервал для істинного значення коефіцієнта кореляції генеральної сукупності:

Якщо значення r наближене до 0, тобто зв'язок між змінними слабкий, то його розподіл наближається до нормального. У такому разі похибку коефіцієнта кореляції визначають за формулою

27. Перевірка значущості параметрів зв’язку між змінними

Гіпотеза – це судження про генеральну сукупність. Здебільшого такі судження стосуються невідомого закону розподілу або параметрів відомого розподілу.

Сформульовану гіпотезу називають нульовою, протилежну гіпотезу називають конкуруючою.

Статистичне доведення здійснюється за такою схемою:

1. на підставі даних формулюємо нульову гіпотезу, яку модна обґрунтувати або спростувати

2. Вибираємо критерій – спеціально підібрану випадкову величину K, точний або наближений розподіл якої відомий і яка слугує для перевіряння нульової гіпотези. Розподіли: нормальний, Стьюдента, Фішера-Снедекора, .

3. Вибираємо рівень значущості – імовірність відхилення згідно з вибраним критерієм істинної гіпотези

4. Знаходимо Критичні значення статистики , які відповідають рівеню значущості .

5. На підставі даних вибірки обчислюємо емпіричне значення статистики

6. Робимо висновок про доречність застосування нульової гіпотези: якщо емпіричне значення статистики попадає в критичну область, то нульову гіпотезу відкидають, позаяк вона суперечить даним вибірки; в іншому випадку немає підстав відкидати нульову гіпотезу.

Правостороння критична область:

Лівостороння критична область: .

Якщо розподіл статистики симетричний відносно 0 і є підстави вибрати симетричну відносно нуля критичну область, використовують рівняння:

Доцільність застосування нульової гіпотези:

• Гіпотеза істинна, і в результаті проведеного стат доведення ми її приймаємо.

• Гіпотеза хибна, і в результаті проведеного стат доведення ми її відкидаємо.

• Гіпотеза істинна, і в результаті проведеного стат доведення ми її відкидаємо.

• Гіпотеза хибна, і в результаті проведеного стат доведення ми її приймаємо

1. Перевіряння статистичної значущості кофа кореляції.

Для коефіцієнта кореляції формулюється нульова гіпотеза, що реальний коефіцієнт кореляції в генеральній сукупності рівний нулю (ρ =0).

Критичне значення цієї статистики при заданому рівні значущості а=0,01 знаходимо за таблицями нормального розподілу. , то нульову гіпотезу відхиляють, і з довірчою імовірністю , вважають, коф кореляції генеральної сукупності відмінний від 0; якщо ж , то з імовірність з немає підстав відкидати нульову гіпотезу. У другому разі, щоб перевірити нульову гіпотезу, використовують статистику:

Критичне значення цієї статистики при заданому рівні значущості знаходимо за таблицями розподілу Стьюдента з n-2 ступенями вільності. Висновок аналогічно до попереднього.

2) Для коефіцієнта регресії формулюється така нульова гіпотеза: коефіцієнт регресії генеральної сукупності .

Щоб перевірити гіпотезу про статистичну значущість коефіцієнта регресії b₁ використаємо

Ця статистика має розподіл Стьюдента з n-2 ступенями вільності. У разі, коли перевіряння нульових гіпотез стосовно стат значущості кофа кореляції та регресії з великою довірчою імовірністю дає змогу зробити висновок про їх статистичну незначущість, будувати та досліджувати ПЛКРМ для вивчення зв’язку між змінними недоцільно.