21. Спряжені парні лінійні кореляційно-регресійні моделі

Як ми вже зазначали, рівняння (2.3) ,

Де x – факторна ознака, а - теоретичне значення результуючої ознаки,

Називають рівнянням прямої лінії регресії у на х. Якщо за факторну ознаку взяти змінну у, а за результуючу змінну – змінну х, то можна побудувати рівняння

,

Яке називають рівнянням прямої лінії регресії х та у або спряженим стосовно рівняння (2.3). Рівняння (2.3), своєю чергою, є спряженим стосовно рівняння (2.20).

Пару рівнянь

,

Називають парою взаємно спряжених парних лінійних кореляційно-регресійних моделей.

Спряжену модель можна побудувати за методом найменших квадратів, при цьому параметри є розв’язками такої системи нормальних рівнянь:

Оскільки коефіцієнт кореляції r описує взаємозв’язок між змінними х та у, тобто для заданої вибірки ( ), він є однаковим від того, яка із змінних є факторною, а яка – результуючою, то пару взаємно спряжених парних лінійних кореляційно-регресійних моделей можна подати як або Враховуючи, що , маємо

22. Стандартна та гранична похибка моделі

Зобразимо у декартовій системі координат на площині пряму регресії: і пряму середнього арифметичного значення результуючої змінної .

Із сукупності заданих точок спостережень візьмемо довільну й опустимо з неї перпендикуляр DA на вісь абсцис. Очевидно, що AD=AB+BC+CD або звідки {2.25}

У рівнянні різницю називають загальним відхиленням результуючої змінної, різницю називають відхиленням, котре можна пояснити, з огляду на КРМ- пояснене відхилення. Різницю {випадкове відхилення} називають непоясненим відхиленням, тому що це відхилення не можна пояснити з огляду на КРМ.

Рівність 2.25 називають формулою декомпозиції загального відхилення:загальне відхилення результуючої змінної можна розкласти на пояснене та непояснене відхилення.

Щоб показати, що аналогічну рівність зберігають і суми цих відхилень, потрібно піднести обидві частини рівності {2.25} до квадрата та підсумувати за індексом i від 1 до n:

Сума добутків відхилень

Отже, справедлива рівність:

Де - загальна сума квадратів; – сума квадратів, пояснена КРМ; – сума квадратів випадкових відхилень.

Поділивши обидві частини на n отримаємо: {2.27}, де - загальна дисперсія результуючої змінної; – дисперсія теоретичних значень результуючої змінної; – дисперсія випадкових відхилень. Рівність {2.27} називають формулою декомпозиції загальної дисперсії: загальну дисперсію результуючої змінної подають як суму поясненої та непоясненої дисперсії. Що більша пояснена дисперсія і менша непояснена то точніше КРМ пояснює зв’язок між змінними.

Стандартною похибкою КРМ називають величину {2.28}

Стандартна похибка моделі характеризує розсіювання фактичних значень результат змінної навколо теоретичних, знайдених за рівнянням регресії.

Для обчислення КРМ можна використати формули: {2.29} {2.30}

Зауваження: є зміщеною оцінкою дисперсії випадкових відхилень . Незміщеною оцінкою дисперсії є варіанса , яку потрібно використовувати у разі вибірок малих обсягів.

Якщо взаємозв’язок між змінними х та у функціональний то всі випадкові відхилення дорівнюють 0 і отже

Якщо кореляційний зв'язок між результуючою та фактичною змінними відсутній то отже тобто стандартна похибка моделі збігається із середнім квадратичним значенням результуючої змінної.

Отже,

Граничною похибкою КРМ є - імовірнісний коефіцієнт,який при заданому значенні довірчої ймовірності p знаходять за таблицями нормального розподілу, або таблицями розподілу Стюдента, з v=n-2

Тоді довірчий інтервал оцінки фактичного значення результат змінної за КРМ зображають Або, . Ця нерівність означає що фактичне значення результат змінної зумовлене значенням факторної ознаки із ймовірністю p має знаходитися в інтервалі . Геометрично довірчий інтервал оцінки за рівнянням регресії зображають смугою між двома паралельними прямими та