4.5. Описание ситуаций с помощью нечетких моделей

Одна из основных целей построения математических моделей ре­альных систем состоит в поиске способа обработки имеющейся инфор­мации либо для выбора рационального варианта управления системой, либо для прогнозирования путей ее развития. При решении задач сис­темных исследований достаточно часто, особенно при исследовании экономических, социальных, социотехнических систем, в функционировании которых принимает участие человек, значительное количество информации о системе получают от экспертов, имеющих опыт работы с данной или подобными системами, знающих ее особенности и имеющих представление о целях ее функционирования. Эта информация носит субъективный характер и ее представление в терминах естественного языка содержит большое число неопределенностей - «много», «мало», «высокий», «низкий», «очень эффективный» и т.п., которые не имеют аналогов в терминах языка классической математики. Язык традиционной математики, опирающийся на теорию множеств и двузначную логику, недостаточно гибок для представления встречающихся неопределенностей в характеристике объектов. В нем нет средств достаточно адекватного описания понятий, которые имеют неопределенный смысл. Представление подобной информации на языке традиционной математики обедняет математическую модель исследуемой ре­альной системы и делает ее слишком грубой. В классической матема­тике множество понимается как совокупность элементов (объектов), об­ладающих некоторым общим свойством, например, множество чисел, не меньших заданного числа, множество векторов, сумма компонент каждого из которых не превосходит единицы и т.д. Для любого элемен­та при этом рассматривается лишь две возможности: либо элемент при­надлежит множеству, т.е. обладает данным свойством, либо не принад­лежит множеству и соответственно не обладает рассматриваемым свой­ством. Таким образом, в описании множества в обычном смысле дол­жен содержаться четкий критерий, позволяющий судить о принадлеж­ности или непринадлежности любого элемента данному множеству. Раз­работка математических методов отражения нечеткости исходной ин­формации позволяет построить модель, более адекватную реальности.

Одним из начальных шагов на пути создания моделей, учитываю­щих нечеткую информацию, считается направление, связанное с име­нем математика Л. Заде и получившее название теории нечетких множеств. Лежащее в основе этой теории понятие нечеткого множества предлагается в качестве средства математического моделирования нео­пределенных понятий, которыми оперирует человек при описании своих представлений о реальной системе, своих желаний, целей и т.д. Нечет­кое множество - это математическая модель класса с нечеткими или размытыми границами. В этом понятии учитывается возможность по­степенного перехода от принадлежности к непринадлежности элемен­та рассматриваемому множеству. Иными словами, элемент может иметь степень принадлежности множеству, промежуточную между полной принадлежностью и полной непринадлежностью. Понятие нечеткого множества - это попытка математической формализации нечеткой ин­формации с целью ее использования при построении математических моделей сложных систем. В основе этого понятия лежит представле­ние о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством по-разному, в боль­шей или меньшей степени. При таком подходе высказывания типа «эле­мент принадлежит данному множеству» теряют смысл, поскольку не­обходимо указать «насколько сильно» или с какой степенью данный элемент принадлежит рассматриваемому множеству. Одним из важных Направлений применения этого нового подхода является проблема при­нятия решений при нечеткой исходной информации.

Идеи теории нечетких множеств нашли развитие в теоретическом Исправлении, называемом статистикой объектов нечисловой природы. Особенностью этих объектов является то, что для них не определена совокупность арифметических операций. Объекты нечисловой приро­ды лежат в пространствах, не имеющих векторной структуры.

Примерами объектов нечисловой природы являются:

• значения качественных признаков, т.е. результаты кодировки объектов с помощью заданного перечня категорий (градаций);

• упорядочения (ранжировки) экспертами образцов продукции (при оценке ее технического уровня);

• классификации, т.е. разбиения объектов на группы сходных меж­ду собой (кластеры);

• бинарные отношения, описывающие сходство объектов между собой, например, сходство тематики научных работ, оцениваемое экспертами с целью рационального формирования экспертных советов внутри определенной области науки;

• результаты парных сравнений или контроля качества продукции по альтернативному признаку («годен» - «брак»), т.е. последовательность нулей и единиц;

• множества (обычные или нечеткие), например, зоны, пораженные коррозией, или перечни возможных причин аварии, составленные экспертами независимо друг от друга;

• слова, предложения, тексты;

• векторы, координаты которых представляют собой совокупность значений разнотипных признаков, например, результат составления статистического отчета о научно-технической деятельности или заполненная компьютеризированная история болезни, в которой часть признаков носит качественный характер, а часть - количественный;

• ответы на вопросы экспертной, маркетинговой или социологической анкеты, часть из которых носит количественный характер (возможно, интервальный), часть сводится к выбору одной из нескольких под­сказок, а часть представляет собой тексты и т.д.

Статистические методы анализа нечисловых данных нашли широ­кое применение в экономике, социологии, при проведении экспертно­го анализа. Дело в том, что в этих областях от 50 до 90% данных явля­ются нечисловыми.