4. Контрольные вопросы

1. Как в методе прямоугольников уменьшить погрешность нахождения интеграла?

2. В каких случаях метод прямоугольников находит применение?

3. Как уменьшить в методе трапеций погрешность нахождения интеграла?

4. В каких случаях метод трапеций находит применение?

5. Можно ли получить методами прямоугольников и трапеций точное значение интеграла?

6. Какой аппроксимирующей заменяется подынтегральная функция в методе Симпсона?

7. В чем сущность методов Чебышева и Гаусса?

Практическая работа № 11 решение обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Цель работы

Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) с начальным условием . Такая задача называется задачей Коши. Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений в точках . Точки , , называются узлами сетки, а величина – шагом сетки. В основе построения дискретной задачи Коши лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом.

2. Основные сведения и примеры

Теоретический материал

Правило Рунге практической оценки погрешности (правило двойного пересчета):

, где , i=1, … , n, p – порядок метода, а вычисления ведутся в узлах сетки .

Уточненное решение вычисляется по формуле: , i=1,…, n.

Пример 11.1. Решение задачи методом Эйлера. Применяя метод Эйлера, найти решение задачи Коши  в трех последовательных точках: , , . Найти точное решение задачи и найти величину абсолютной погрешности в указанных точках.

Решение. Возьмем шаг . Используя расчетную формулу Эйлера, найдем приближенное решение задачи Коши:

,

,

.

Таким образом, получили численное решение задачи Коши с шагом :

	0	0.2	0.4	0.6
	1.5	1.8	2.12	2.464

В этой задаче легко находится точное решение, например, методом вариации постоянной: . Вычислим значения точного решения в указанных точках.

 

	0	0.2	0.4	0.6
	1.5	1.81	2.14	2.51

Абсолютную погрешность вычислим так: . Тогда , , . Таким образом, максимальная величина погрешности .

Пример 11.2. Оценка погрешности по правилу Рунге¹.

Пример 11.3. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера. Выполнить 1 шаг длины 0.4 с использованием усовершенствованного метода Эйлера для решения задачи Коши: .

Решение. Зададим шаг . Тогда решение в точке 1.4 находится так:

,

.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в MathCAD

Пример 11.4. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера в MathCAD. Решим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера.

Решение. Пусть правая часть уравнения равна

Зададим границы изменения x:

Зададим число точек и величину шага:

Зададим начальные условия:

Вычислим x и y по формулам Эйлера:

Представим результат графически и сравним его с аналитическим решением: .

Решение систем дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений MathCAD имеет ряд встроенных функций, в частности функцию rkfixed, реализующую метод Рунге – Кутта четвертого порядка с фиксированным шагом. Фактически эта функция предназначена для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Функция rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения и его первые n-1 производные. Аргументы функции: y – вектор начальных значений (n элементов); x1 и x2 – границы интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения; npoints – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение (функция rkfixed возвращает матрицу, состоящую из 1+npoints строк); D – вектор, состоящий из n элементов, который содержит первые производные искомой функции.

Пример 11.5. Решение дифференциальных уравнений методом Рунге – Кутта. Решим еще раз задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге – Кутта.

Решение. Правая часть уравнения:

Зададим границы изменения x:

Зададим число точек внутри интервала:

Зададим начальные условия:

Обратите внимание на обозначения. Поскольку мы решаем только одно дифференциальное уравнение первого порядка, а не систему дифференциальных уравнений, матрица y содержит только один элемент, однако запись y=1 была бы неправильной. Необходимо явно указать на то, что величина y – матрица, то есть писать индекс.

Определим теперь матрицу производных. Эта матрица тоже состоит только из одного элемента. Этот элемент с точностью до обозначений совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения:

Решаем дифференциальное уравнение:

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad 2000

Для этих целей служит уже известный нам блок given совместно с функцией odesolve. Дифференциальное уравнение совместно с начальными или граничными условиями записывается в блоке given. Производные можно обозначать как штрихами (Ctrl+F7), так и с помощью знака производной . Пример использования функции для решения задачи Коши приведен ниже, результат показан на графике (см. рисунок).

_{У искомой функции явно указан аргумент, знак производной стоит перед скобкой. Функция odesolve имеет три аргумента. Первый аргумент – независимая переменная, второй – граница интервала, на котором ищется решение, последний аргумент – шаг, с которым ищется решение. Последний аргумент может быть опущен.}