3. Задачи к работе
Номер варианта выбирается согласно порядковому номеру в списке группы.
Задача 10.1.
Вычислить значение интеграла
,
где
,
с помощью квадратурных формул трапеций
и Симпсона для элементарного отрезка
интегрирования. Оценить величину
погрешности. Применяя те же квадратурные
формулы для составного отрезка
интегрирования, вычислить интеграл I
с точностью 0.0001. Предварительно оценить
шаг интегрирования, при котором
достигается заданная точность.
Порядок решения:
1. Вычислить значение интеграла I аналитически.
2. Задать многочлен
.
Вычислить значение интеграла I
по формулам трапеций и Симпсона, считая
отрезок
элементарным отрезком интегрирования.
3. Найти абсолютные погрешности результатов.
4. Используя выражение для остаточных членов интегрирования, оценить шаги интегрирования, при которых величина погрешности каждой квадратурной формулы будет меньше 0.0001.
5. Вычислить значения интеграла по составной квадратурной формуле с найденным шагом.
6. Найти абсолютные погрешности результатов.
Задача 10.2.
Вычислить интеграл
(k=0,1,...,5) аналитически
и численно, используя квадратурную
формулу, указанную в индивидуальном
варианте, с шагом h=(b-a)/2.
Для многочленов какой степени используемая
квадратурная формула точна и почему?
Вычислить значение интеграла при k=5
с шагом h/2. Оценить
погрешность по правилу Рунге.
Задача 10.3.
Вычислить значение интеграла, используя
формулу центральных прямоугольников,
с шагом
от
до
.
Построить график зависимости абсолютной
погрешности результата от
.
Сравнить полученную погрешность с
теоретической оценкой абсолютной
погрешности.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ЗАДАЧАМ
К задаче 10.1
N |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
1 |
0.6 |
1.3 |
0 |
1.2 |
1.9 |
16 |
5.4 |
2.1 |
0.3 |
2.1 |
1.6 |
1.6 |
2 |
1 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.5 |
17 |
0 |
-2.9 |
-0.9 |
0.4 |
1.9 |
2.3 |
3 |
0.4 |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
2 |
18 |
5.2 |
5.3 |
2.5 |
0.1 |
0 |
2.3 |
4 |
0.1 |
-0.1 |
1 |
1 |
1 |
19 |
-4.6 |
-0.4 |
1.6 |
0 |
2.4 |
-4.1 |
5 |
1.5 |
0 |
-2.1 |
-1.1 |
3.1 |
20 |
3.5 |
-0.2 |
-2.3 |
-3.1 |
3.1 |
5.2 |
6 |
-2.5 |
-2.1 |
0 |
0.4 |
0.5 |
21 |
2.2 |
-4.1 |
0.3 |
-3.4 |
3.5 |
6.5 |
7 |
6.8 |
1.7 |
-4.1 |
0.1 |
-6.1 |
22 |
0.8 |
6.5 |
-4.4 |
6.1 |
-3.6 |
2.4 |
8 |
0 |
1.4 |
3.2 |
1.6 |
-9.4 |
23 |
7.9 |
-0.4 |
2.7 |
0.7 |
-2.4 |
-2.7 |
9 |
1.3 |
0 |
-0.1 |
0.7 |
8.1 |
24 |
1.3 |
0.5 |
2.1 |
5.7 |
8.3 |
-3.7 |
10 |
4.2 |
-1.2 |
1.5 |
0 |
7.1 |
25 |
-2.7 |
2.4 |
4.5 |
-3.2 |
6.6 |
2.4 |
11 |
-2.2 |
0.7 |
4.5 |
0.8 |
0.6 |
26 |
2.8 |
-1.5 |
-0.9 |
1.8 |
2.4 |
5.6 |
12 |
5.3 |
-1.2 |
-1.5 |
1.3 |
-7.1 |
27 |
3.3 |
-2.3 |
0.5 |
0.3 |
4.3 |
-4.3 |
13 |
4.9 |
5.3 |
3.3 |
0.8 |
5.1 |
28 |
6.1 |
0 |
7.5 |
7.4 |
0.6 |
-0.6 |
14 |
0.4 |
2.7 |
1.5 |
1.4 |
1.1 |
29 |
2.5 |
-3.3 |
0 |
8.4 |
-5.2 |
0.9 |
15 |
2.8 |
-1.2 |
-1.5 |
0 |
6.4 |
30 |
-5.6 |
-7.2 |
1.5 |
4.6 |
-5.1 |
7.1 |
К задаче 10.2
N |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
Квадратурная формула |
1 |
1 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.8 |
1 |
0 |
1 |
правых прямоугольников |
2 |
0.4 |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
2 |
1 |
-1 |
0 |
центральных прямоугольников |
3 |
0.1 |
-0.1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
трапеций |
4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
0.8 |
-1 |
0 |
Симпсона |
5 |
1 |
1 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0 |
1 |
правых прямоугольников |
6 |
0.1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
центральных прямоугольников |
7 |
1 |
1 |
0.1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
трапеций |
8 |
1 |
-1 |
1 |
0.1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
Симпсона |
9 |
0.1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
0.1 |
0 |
1 |
правых прямоугольников |
10 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
Симпсона |
К задаче 10.3
N |
f(x) |
a |
b |
N |
f(x) |
a |
b |
1 |
|
0 |
/ 2 |
3 |
|
– / 2 |
0 |
2 |
|
– / 2 |
0 |
4 |
|
– / 2 |
0 |
N |
f(x) |
a |
b |
N |
f(x) |
a |
b |
5 |
|
0 |
/ 2 |
8 |
|
/ 4 |
/ 2 |
6 |
|
– |
0 |
9 |
|
1 |
4 |
7 |
|
/ 4 |
/ 2 |
10 |
|
0 |
2 |
