4. Контрольные вопросы
Постановка задач приближения функций.
Метод наименьших квадратов. Вывод нормальной системы метода наименьших квадратов.
Обусловленность нормальной системы.
Выбор оптимальной степени аппроксимирующего многочлена.
Практическая работа № 10 численное интегрирование
1. Цель работы
Вычисление интегралов встречается достаточно часто, например, при моделировании. Численные методы обычно применяются при взятии неберущихся интегралов от достаточно сложных функций, которые предварительно табулируются, или при интегрировании таблично заданных функций, что часто встречается в экономических приложениях.
2. Основные сведения и примеры
Теоретический материал
Приведем простейшие
квадратурные формулы и оценки погрешностей
для вычисления
при равномерном делении отрезка [a;
b] на n
интервалов с шагом h
= (b – a)
/ n.
Формула левых
прямоугольников:
;
остаточный член
.
Формула правых
прямоугольников:
;
остаточный член
.
Формула центральных (средних) прямоугольников:
;
остаточный член
.
Формула трапеций:
S=
;
остаточный член
.
Формула Симпсона:
;
остаточный член
.
Значения
узлов
и весов
квадратурной формулы Гаусса
с числом узлов от 1 до 4 даны в таблице.
Узлы и веса |
Значение при числе узлов |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
0 |
-0.577350269189626 |
-0.77459666929954 |
-0.861136311594052 |
|
2 |
1.000000000000000 |
0.55555555555556 |
0.347854845137454 |
|
– |
0.577350269189626 |
0.00000000000000 |
-0.339981043584856 |
|
– |
1.000000000000000 |
0.88888888888888 |
0.652145154862546 |
|
– |
– |
0.77459666929954 |
0.339981043584856 |
|
– |
– |
0.55555555555556 |
0.652145154862546 |
|
– |
– |
– |
-0.861136311594052 |
|
– |
– |
– |
0.347854845137454 |
Вычисление определенных интегралов в MathCAD
Разработчиками MathCAD 2000 (2001) запрограммированы четыре численных метода интегрирования:
Romberg (Ромберга) – для большинства функций, не содержащих особенностей;
Adaptive (адаптивный) – для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования;
Infinite Limit (бесконечный предел) – для интегралов с бесконечными пределами;
Singular Endpoint – для интегралов с сингулярностью на конце (модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования).
Встроенные операторы интегрирования
Для вычисления определенного интеграла необходимо выбрать знак интеграла из палитры или набрать его нажатием клавиши &. После этого следует вписать пределы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования. MathCAD успешно справляется с большинством интегралов, в том числе с несобственными. Точность вычислений регулируется встроенной переменной TOL. По умолчанию ее значение установлено TOL := 10–3. Ниже приведены примеры успешного вычисления несобственного интеграла, интеграла от быстро осциллирующей функции и интеграла от ступенчатой функции:
Зависимость результата от заданной точности вычислений показана на следующем примере:
Для этого примера результат может быть получен также в символьном виде:
