Уравнение прямой

Уравнением прямой на плоскости в декартовых координатах называется уравнение вида ах + bу +c = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки этой прямой. При этом а,b, c - действительные числа, одновременно не равные нулю.

Ранее было известно иное уравнение: у = kх +q. Это так называемая явная (приведенная) форма уравнения прямой, которую легко получить из уравнения общего вида. Если в уравнении ах + bу +c = 0 b 0, то, выразив из него у, получим: у = - х - . Обозначим - = k, а - = q, и получим уравнение у = kх + q, где k называется угловым коэффициентом прямой, равным тангенсу острого угла, который данная прямая образует с осью абсцисс.

1. Треугольник задан вершинами А(-6; -2); В(4;8); С(2;-8).

а) Найти уравнение прямой ВК, параллельной стороне АС.

Вектор { 8; -6 }

Прямая ВК параллельна вектору . Выбираем на прямой ВК произвольную точку К(х; у) и тогда вектор имеет координаты { х - 4; у -8 }.

Вектор { х - 4; у -8 } параллелен вектору { 8; -6 } значит векторы и коллинеарные, т.е. их координаты пропорциональны, значит

- 6х + 24 = 8у - 64 6х +8у - 88 = 0 3х +4у - 44 = 0 - уравнение прямой ВК.

б) Найти угол В. { -10; -10 }

{-2; -16 } сosВ = 0,8

в) Найти уравнение медианы СD. АD = ВD D D(- 1; 3);

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки =

= 3у - 9 = - 11х -11 11х + 3у + 2 = 0

г) Найти уравнение высоты АЕ. АЕ ВС. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору : А(х - х₀) + В(у - у₀) = 0, где х₀ и у₀ координаты заданной точки (в данном случае А(-6; -2) ), а А и В координаты вектора, перпендикулярного этой прямой

(в данном случае {-2; -16 } ).

Уравнение высоты АЕ: -2(х + 6) -16(у +2) = 0 -2х -12 -16у -32 = 0 2х + 16у + 44 = 0

уравнение высоты АЕ: х + 8у + 22 = 0

д) Ц.т. лежит в точке пересечения медиан, т.е. на расстоянии от стороны АВ.

D(-1; 3); С(2;-8)

тогда: = 3(х₀ - х_С ) = 2(х_D - х_С) 3(х₀ - 2 ) =2(-1 -2) х₀ = 0

= 3(у₀ - у_С ) = 2(у_D - у_С) 3(у₀ +8) = 2( 3 + 8) 3у₀ +24 = 22 у₀ = - Ц.т. (0; - )

2. Треугольник задан вершинами А(-2; -2); В(7; -6); С(1;2)

а) Найти уравнение прямой АМ, параллельной стороне ВС.

Находим вектор { -6; 8 }

Прямая АМ параллельна стороне ВС. Выбираем произвольную точку М(х; у) и тогда вектор имеет координаты { х + 2; у +2 }.

Вектор { х + 2; у +2 } параллелен вектору { -6; 8 } значит их координаты пропорциональны, 8х +16 =-6у -12 8х +6у +28 = 0 4х +3у +14 = 0 - уравнение прямой АМ

б) Найти угол В { -9; 4 }

{-6; 8 } сosВ = 0,22

в) Найти уравнение медианы АD. ВD = DС D D(4; - 2);

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки =

у + 2 =(у₂ - у₁) у + 2 =(-2 + 2) у + 2 = 0

г) Найти уравнение высоты ВF. ВF АС. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору : А(х - х₀) + В(у - у₀) = 0, где х₀ и у₀ координаты

заданной точки (в данном случае В(7;-6), а А и В координаты вектора, перпендикулярного этой прямой (в данном случае {3; 4 } ).

Уравнение высоты ВF: 3(х - 7) + 4(у +6) = 0 3х -21 +4у +24 = 0 3х + 4у + 3 = 0

уравнение высоты АЕ: 3х + 4у + 3 = 0

д) Ц.т. лежит в точке пересечения медиан, т.е. на расстоянии от стороны ВС.

А(-2; -2); D(4; - 2);

тогда: = 3(х₀ - х_А ) = 2(х_D - х_В) 3(х₀ - 7) =2( 1 - 7) х₀ = 2

= 3(у₀ - у_В ) = 2(у_С - у_В) 3(у₀ +6) = 2(2 + 6) 3у₀ +18 = 16 у₀ =2