
- •Элементы линейной алгебры
- •0 УМ у ось ординат
- •Преобразование координат
- •Координаты вектора
- •Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
- •Скалярное произведение векторов
- •Уравнение прямой
- •Уравнение плоскости
- •Комплексные числа и арифметические операции над ними. Тригонометрическая форма записи комплексного числа
- •Действия над комплексными числами в алгебраической форме
СПО.
Математика. IV.
Элементы линейной алгебры
Элементы линейной алгебры
ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
Положение материальной точки приходится определять в самых разных отраслях знаний, начиная от простейших земных механизмов, и до положения звезд в солнечной системе. Но положение точки может быть определено только по отношению к каким-то телам отсчета. С телом отсчета неподвижно связывают некоторую систему координат и только тогда определяют положение точки в этой системе координат. Таким образом, координатами вообще называют числа, определяющие положение точки в любой Момент времени. Что касается системы координат, то ее выбор диктуется соображениями удобства и простоты фиксации точки положения во времени или описания ее движения точки. Известны, например, координатная прямая, прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве, географические координаты - параллели и меридианы на сферической поверхности; экваториальные координаты на небесной сфере - склонение и прямое восхождение. Самые употребительные координаты - прямоугольные. Введение такой системы координат позволяет приписать любой точке пространства определенный «адрес» в виде двух (в двухмерном случае) или трех (в трехмерном случае) чисел.
I.
Положение точки на
плоскости
определяется с помощью прямоугольной
системы координат
состоящей из пары взаимно перпендикулярных
координатных прямых с общим началом
координат. Начало координат обозначается
буквой О,
а координатные прямые обозначаются
Ох
и
Оу
и называются соответственно осью
абсцисс
и осью
ординат.
Единицы
масштаба на обеих осях координат
называются
единичными векторами,
или ортами.
Единичный вектор оси
Ох
обозначается
,
единичный вектор Оу
обозначается.
.
Единицы
масштаба на обеих осях координат берут,
как правило, равными.
Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт (1596-1650). Поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой прямоугольной системой координат, а сами координаты - декартовыми координатами. Введение прямоугольных координат на плоскости и в пространстве позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот.
Координаты х и у полностью определяют положение точки М на плоскости, т.к. каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.
у
II четверть I четверть
N(х2;у2)
у1 - у2 х1, у1, – это координаты проекций точки М
М(х1;у1)
на
оси координат, поэтому проекцией
(С) отрезка МN на оси координат является число,
равное разности координат проекций концов
0
х
данного отрезка на оси координат.
х1 - х2
пр.Ох МN = х М – хN = МN cos
III четверть IV четверть пр.Оу МN = уM - уN = МN sin
В I четверти обе координаты точки имеют знак «+», в III четверти обе координаты точки имеют знак «-», во II четверти координата у точки имеет знак «+», а координата х имеет знак «- »,
в IV четверти координата х имеет знак «+», а координата у имеет знак «- ».
Координаты
середины отрезка определяются по
формулам: хс
=
ус
=
.
Расстояние
между двумя точками
М
иN
на плоскости определяется формулой
согласно теореме Пифагора для треугольника
МNС:
МN
2
= прОх
МN
2
+ прОу
МN
2
МN
=
II.
Другой практически важной системой
координат
является полярная
система координат. Полярная
система координат задается
точкой О,
называемой
полюсом; лучом Ор,
называемым полярной осью, и единичным
вектором
того
же направления, что и луч Ор.
Положение точки М однозначно определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса 0 и углом , образованным отрезком точки ОМ с полярной осью. Числа r и называются полярными координатами точки М. При этом r называют полярным радиусом, а полярным углом: М(r; ).
М(r; )
r
- полярный радиус,
-
полярный угол.
r
0 [
Полярный
угол ограничивают промежутком (
0
< 2π ),
а
полярный радиус -
.
В этом случае каждой точке плоскости
(кроме 0) соответствует единственная
пара чисел
r
и
и
наоборот.
Связь полярных координат с декартовыми координатами очевидна:
у
r2
= х2
+
у2
А
уА
=rsin
cos
=
sin
=
tg
=
=
хА = rcos х
И она аналогична связи между коодинатами точки и ее проекциями в прямоугольной системе координат.
III.
Положение
точки
в пространстве
определяется уже тремя координатами.
Поэтому пространственная система
координат состоит из трех взаимно
перпендикулярных осей, пересекающихся
в одной точке. Третья ось называется
ось аппликат и обозначается ось Оz.
Орты
трех осей координат обозначаются
соответственно:
,
,
.
Существуют две различные конфигурации
трехмерной системы координат: левая
и
правая
левая
правая
z
z
1
1
О О 1 у
1 х 1
1
у х
Наибольшее распространение на практике получила правая система.
Каждая пара координатных осей определяет координатную плоскость, а в совокупности они разбивают все пространство на 8 октантов.
ось
аппликат
z
плоскость
Oуz
образуется
в пространстве
осями Оу и Оz
zМ
М(х;у;z) плоскость Oxy образуется в пространстве
осями Ох и Оу