СПО. Математика. IV. Элементы линейной алгебры 36

4. Элементы линейной алгебры

ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

Положение материальной точки приходится определять в самых разных отраслях знаний, начиная от простейших земных механизмов, и до положения звезд в солнечной системе. Но положение точки может быть определено только по отношению к каким-то телам отсчета. С телом отсчета неподвижно связывают некоторую систему координат и только тогда определяют положение точки в этой системе координат. Таким образом, координатами вообще называют числа, определяющие положение точки в любой Момент времени. Что касается системы координат, то ее выбор диктуется соображениями удобства и простоты фиксации точки положения во времени или описания ее движения точки. Известны, например, координатная прямая, прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве, географические координаты - параллели и меридианы на сферической поверхности; экваториальные координаты на небесной сфере - склонение и прямое восхождение. Самые употребительные координаты - прямоугольные. Введение такой системы координат позволяет приписать любой точке пространства определенный «адрес» в виде двух (в двухмерном случае) или трех (в трехмерном случае) чисел.

I. Положение точки на плоскости определяется с помощью прямоугольной системы координат состоящей из пары взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Начало координат обозначается буквой О, а координатные прямые обозначаются Ох и Оу и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Единицы масштаба на обеих осях координат называются единичными векторами, или ортами. Единичный вектор оси Ох обозначается , единичный вектор Оу обозначается. . Единицы масштаба на обеих осях координат берут, как правило, равными.

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт (1596-1650). Поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой прямоугольной системой координат, а сами координаты - декартовыми координатами. Введение прямоугольных координат на плоскости и в пространстве позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот.

Координаты х и у полностью определяют положение точки М на плоскости, т.к. каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

у

II четверть I четверть

N(х₂;у₂)

у₁ - у₂ х₁, у₁, – это координаты проекций точки М

М(х₁;у₁) на оси координат, поэтому проекцией

(С) отрезка МN на оси координат является число,

равное разности координат проекций концов

0 х данного отрезка на оси координат.

х₁ - х₂

пр._Ох МN = х _М – х_N = МN cos

III четверть IV четверть пр._Оу МN = у_M - у_N = МN sin

В I четверти обе координаты точки имеют знак «+», в III четверти обе координаты точки имеют знак «-», во II четверти координата у точки имеет знак «+», а координата х имеет знак «- »,

в IV четверти координата х имеет знак «+», а координата у имеет знак «- ».

Координаты середины отрезка определяются по формулам: х_с = у_с = .

Расстояние между двумя точками М иN на плоскости определяется формулой согласно теореме Пифагора для треугольника МNС: МN ² = пр_Ох МN ² + пр_Оу МN ² МN =

II. Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом; лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч Ор.

Положение точки М однозначно определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса 0 и углом , образованным отрезком точки ОМ с полярной осью. Числа r и называются полярными координатами точки М. При этом r называют полярным радиусом, а полярным углом: М(r; ).

М(r; )

r - полярный радиус, - полярный угол.

r

0 [

Полярный угол ограничивают промежутком ( 0 < 2π ), а полярный радиус - . В этом случае каждой точке плоскости (кроме 0) соответствует единственная пара чисел r и и наоборот.

Связь полярных координат с декартовыми координатами очевидна:

у

r² = х² + у²

А у_А =rsin cos =

sin = tg = =

0. х_А = rcos х

И она аналогична связи между коодинатами точки и ее проекциями в прямоугольной системе координат.

III. Положение точки в пространстве определяется уже тремя координатами. Поэтому пространственная система координат состоит из трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке. Третья ось называется ось аппликат и обозначается ось Оz. Орты трех осей координат обозначаются соответственно: , , . Существуют две различные конфигурации трехмерной системы координат: левая и правая

левая правая z

z

1

1

О О 1 у

1 х 1

1

у х

Наибольшее распространение на практике получила правая система.

Каждая пара координатных осей определяет координатную плоскость, а в совокупности они разбивают все пространство на 8 октантов.

ось аппликат z плоскость Oуz образуется в пространстве

осями Оу и Оz

z_М

М(х;у;z) плоскость Oxy образуется в пространстве

осями Ох и Оу