Эквивалентное преобразование озп

Рассмотрим ограничения

, , (7.5)

где . Введем две новые функции

, . (7.6)

Покажем, что если будут выполняться ограничения

, ,

то будут выполняться и ограничения (7.5). Действительно, из условий

и

cледует, что , т.е. , следовательно, . Аналогично из условий и вытекает, что .

Если для и ввести сквозную нумерацию, то с учетом вышеcказанного, будем иметь следующие ограничения

, , (7.7)

где

В таком случае основная задача проектирования запишется в виде

; (7.8)

;

; (7.9)

, . (7.10)

Это стандартная форма постановки задачи ОЗП.

Условие разрешимости озп

Теорема. Условие

при выполнении связей (7.8), (7.9) является необходимым и достаточным условием существования решения ОЗП. Заметим, что если существует такой набор , , то существует решение ОЗП. Если хотя бы одно из 2m ограничение не выполнено, то решение задачи ОЗП не существует.

Доказательство теоремы можно найти в [14].

Численные методы решения озп

Решение ОЗП заключается в определении входящих в систему уравнений

и принадлежащих допустимой области U таких значений управляющих параметров , чтобы выполнялись условия , .

Э ти ограничения в 2m-мерном пространстве переменных выделяют область A. При m = 1 область A имеет вид, представленный на рис.7.2.

Если управление u задано, то в пространстве получим определенную точку P. ОЗП будет решена, если мы найдем все управления , для которых точка P будет находиться в области А. Если точка P находится вне А, то нужно уметь загнать ее в область A. Для этого можно воспользоваться численными методами.

Желаемый результат получается путем последовательного улучшения некоторой меры, характеризующей удаление точки P от области А. Здесь рассмотрим две меры.

Первая из них мера

,

где

В простейшем случае все . Если все , то , т.е. абсолютный минимум меры равен нулю и он достигается тогда, когда изображающая точка попадает в область А. Если не обращается в нуль, то ОЗП не имеет решения. Мера не позволяет, однако, оценить степень удаленности точки P от границы области А.

Мера

,

свободная от этого недостатка. Если решение задачи существует, то минимизируя можно войти в область A.

Градиентный метод

Задаемся вектором , решаем систему , находим , , определяем , .

Пусть . Найдем такую поправку к , чтобы уменьшилось. Для этого введем вектор

.

Зададим поправки так, что

и покажем, что в выражении .

Действительно, поскольку

,

то отсюда находим, что

.

Утверждение доказано.

Метод покоординатного спуска

В этом методе на каждом n-ном шаге итерации в качестве направления спуска выбирается направление вдоль одной из координатных осей, например той, проекция градиента на которую максимальна по абсолютной величине, т.е

,

где

.

Здесь n – номер итерации, т.е. .

Метод случайного поиска

Опыт использования численных методов показывает, что определение градиента функции связано со значительными трудностями. Поэтому в последние годы интенсивно внедряются в практику методы случайного поиска, которые свободны от указанного недостатка. В методах случайного поиска направление шага, а иногда и величина шага, определяются случайным образом.

Этот метод является прямым развитием известного метода проб и ошибок, когда решение ищется случайно, и при удаче принимается, а при неудаче отвергается с тем, чтобы немедленно снова обратиться к случайности как к источнику возможного. Такое «случайное» поведение разумно опирается на уверенность, что случайность содержит в себе все возможности, в том числе и искомое решение. Итерационный алгоритм поиска оптимальных параметров представим в виде.

.

Различные методы случайного поиска отличаются способами определения приращения .