- •Глава 1. Матрицы и их определители
- •§1. Матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •2 · .
- •§2.Определитель матрицы. Свойства определителя правила его вычисления
- •Теперь рассмотрим матрицу третьего порядка
- •Определителем этой матрицы называется число, равное
- •Свойства определителя
- •§3. Обратная матрица
- •§4. Разложение матрицы на произведение двух треугольных матриц
- •§5. Клеточные матрицы и действия над ними
- •§6. Определение ранга матрицы и основные методы его вычисления
- •Теорема о ранге матрицы . Базисный минор
Глава 1. Матрицы и их определители
§1. Матрицы
оПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Матрицей называется совокупность вещественных или
комплексных чисел ,расположенных в виде прямоугольной таблицы
A=.
Числа называются элементами матрицы. Индексы i,,j означают, что элемент расположен на пересеченииi-й строки и j-го столбца матрицы A= (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n).
Если в матрице A mn, то матрица называется прямоугольной. В случае, когда m=n, то есть число строк равно числу столбцов, матрица A называется квадратной.
оПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то она называется матрицей размера
Прямоугольная матрица размера , состоящая из одного столбцаA=называетсястолбцевой и обозначается так
A = .
Прямоугольная матрица размером ,состоящая из одной строки называется строчной и имеет вид:
A= .
Иногда cтолбцевая матрица называется вектор-столбцом, а строчная мавтрица - вектор-строкой или оба вида матриц называются просто векторами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Квадратная матрица A называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю, и имеет вид:
A= .
Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной обозначается символом E :
E=.
Матрица A с элементами aij называется правой (верхней), если , илевой (нижней) треугольной, если aij = 0 .
Матрица A с элементами aij называется строго правой (строго верхней) треугольной, если и строго левой (строго нижней) треугольной, если aij=0 .
Квадратная матрица, в которой все элементы расположены симметрично главной диагонали, то есть aij= aji (i j) называется симметричной матрицей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковые размеры и aij= bij i и j. Равенство матриц A и B обозначается так A=B.
Линейные операции над матрицами
К линейным операциям над матрицами относятся: сложение, вычитание и умножение матриц на числа.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Суммой матриц A и B размером mn называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов aij и bij матриц A и B, то есть C=A+B или
.
Операции сложения матриц коммутативные и ассоциативные, то есть
а) ,б) ,
в) , г)- нулевая матрица).
Разностью двух матриц A и B одного и того же размера называется матрица C того же размера, элементы которой равны разности соответствующих элементов aij и bij матриц A и B, то есть = aij - bij или
С=
ПРИМЕР. Найти A B, где
.
Имеем
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Произведением матрицы A размером mn на число называется матрица, элементы которой получаются умножением всех элементов матрицы A на число . Эта операция обозначается
C= ·A=.
Произведение матрицы A на число подчиняется следующим законам:
а) б) в) , в)..
ПРИМЕР. Найти 2· , где A=.
Имеем
2 · .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Произведением матрицы A размером mn и матрицы B размером пp называется матрица C размером m p, если
.
Из определения следует, что операция умножения матриц имеет место тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. При этом элемент матрицы С вычисляется по следующему правилу: чтобы получить элемент матрицы , стоящей в i-й строке и j-ом столбце, нужно элементы i-й строки первой матрицы A умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй B и полученные произведения сложить.
ПРИМЕР. Найти A · B, где A=, B=.
Имеем
A·B=·=
Если операция произведения матриц выполнима, то она подчиняется следующим условиям:
а) ;б) ;
в) ;г) .
Следует отметить, что операция произведения двух матриц не обладает свойством переместительности, то есть AB BA .
Выражение вида An= называется n-й степенью матрицы А. Если A-квадратная матрица, а n - целое положительное число, то An= A ·A ·A ·... ·A.