Метод допустимых направлений

Этот метод предназначен для отыскания минимума функции при наличии ограничений только в виде неравенств, т.е.

; (5.12)

 , , (5.13)

где . Поиск точки минимума должен всегда начинаться из точки , (в области D_g выполнены все ограничения (5.13)), т.е. из допустимой точки.

Суть метода заключается в следующем.

Вначале линеаризуются соотношения (5.12), (5.13):

; (5.14)

, , (5.15)

где – номер итерации, . Наиболее благоприятное направление перехода (точка ) определяется в результате решения вспомогательной задачи:

, (5.16)

где скаляр и вектор подлежат определению. С этой целью, подставив (5.16) в (5.14), (5.15), потребуем, чтобы имел место

при условии

, .

Поскольку и , то точка определяется из условия, что функция

(5.17)

достигает минимума при условии

, . (5.18)

Любой вектор , удовлетворяющий неравенствам (5.18), является допустимым вектором. Они определяют допустимые направления. Среди всех допустимых направлений выделим такое, которое обеспечивает наибольшую минимизирующую поправку к значению функции на шаге от точки к точке путем решения следующей задачи линейного программирования – минимизировать функцию

(5.19)

при ограничениях

, . (5.20)

Допустим, что имеет место такое решение, что,

,

тогда определяется максимальная длина шага , осуществляемого в направлении без выхода за пределы допустимой области, которая определяется ограничениями рис. 5.4

, , (5.21)

Другими словами,

.

и проверкой выполнения ограничений (5.21). Затем определяется такое значение , которое удовлетворяет условию

и для которого достигает минимума. Поиск такого значения параметра осуществляется любым однопараметрическим методом поиска (методом дихотомии, золотого сечения и т.п.). В итоге определяется точка

.

Далее осуществляется переход к -й итерации.

Метод отсекающих плоскостей (Алгоритм Келли)

Найти такие значения , , которых целевая функция

(5.22)

достигает минимума при выполнении ограничений

(5.23)

Последняя группа неравенств может отсутствовать. В эквивалентной постановке требуется найти такую точку в области D, чтобы у достигала минимума. Заметим:

а) если некоторая конкретная задача содержит еще и ограничения типа равенств

, , , (5.24)

то они обращаются в неравенства

, , (5.26)

где – некоторые положительные числа, такие, что выполнение неравенств (5.25) может быть принято как выполнение ограничения (5.24);

б) если целевая функция имеет вид

,

то такая задача сводится к исходной: найти min функции

при условии, что

(5.27)

, ,

г де – новая переменная.

Каким бы ни было значение , должно быть меньше (согласно ). Вместе с тем min y достигается при , т.о. эта задача эквивалентна исходной.

Последовательность операций.

1. Вместо области D задаем область в виде n-мерного куба, включающего D, т.е.

.

Например, при область может быть назначена так, как это показано на рис. 5.5.

2. Решается задача отыскания минимума функции

(5.28)

при условии выполнения ограничений

, . (5.29)

Ограничения (5.29) включают в себя и ограничения исходные.

Это задача линейного программирования. Решив ее, найдем точку . Возможны следующие случаи:

а) , тогда задача решена;

б) , т.е. имеются . Тогда переходим к п.3.

3. От области отрезается некоторая область, содержащая точку . Для этого среди не выполнившихся ограничений выбирается одно, которое наиболее сильно нарушено (допустим, это ограничение под номером k₀), оно линеаризуется в точке :

,

где – градиент функции , записанный для точки .

Накладываем требование, чтобы

. (5.30)

Заметим, что это требование отсекает часть области , куда входит . Действительно, условию (5.30) никогда не может удовлетворить точка , т.к. при подстановке в него получим , что противоречит условию .

Уравнение

есть уравнение плоскости. Решается задача

– min;

, , ;

.

Это задача линейного программирования. Получаем точку , и т.д.

Процесс вычислений заканчивается при выполнении исхода а) п.2.

Пример. Задача:

– min;

;

.

Геометрическая интерпретация рассмотрена на рис. 5.6

П роследим ход решения по методу Келли.

Область определим неравенствами:

, .

Задача линейного программирования

– min;

;

дает точку . В этой точке

;

.

Линеаризуем в точке :

,

.

Заметим, что не удовлетворяет этому ограничению:

.

Решается задача:

– min;

;

;

.

Решив задачу линейного программирования, получаем точку , и т.д.

Вычисления прекращаются тогда, когда для всех задействованных ограничений получим, что

, ,

где – некоторые положительные числа, задаваемые из соображений необходимой точности решения задачи.