4.6. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

Воспользуемся эквивалентной постановкой задачи линейного программирования и рассмотрим частный случай . Пусть задача (4.52) – (4.54) имеет следующий вид

(4.71)

(4.72)

Заметим, что всякое выражение вида

д елит плоскость на две полуплоскости так, как это показано на рис. 4.1

Исходя из этого, ограничения (4.71) на плоскости выделят некоторую допустимую область D для переменных , , см. рис. 4.2. Область D выделена жирной линией.

С реди бесконечного количества точек области D, которой принадлежит и граница, нужно найти такую точку, в которой достигает минимума.

Воспользуемся градиентным подходом: выберем произвольную точку , построим антиградиент в этой точке для . Антиградиент направляем по нормали к линии уровня в этой точке. Линия уровня , т.е. есть прямая, где с – произвольная константа.

В любой точке, принадлежащей линии уровня, принимает одно и то же значение, равное с. Так что минимум функции на такой линии искать не приходится, его нужно искать, передвигая линию в плоскости. Для различных с получим набор линий уровня, параллельных друг другу, т.к. угловой коэффициент их один и тот же и равен . Направление убывания величины с указывает антиградиент

,

т.е.

.

Л инии уровня и антиградиент показаны на рис. 4.3.

Смещая прямую параллельно самой себе в направлении антиградиента , будем получать все меньшие и меньшие значения для . Последнее ее положение то, которое связано с точкой (4;4). Это и будет решение задачи линейного программирования. Другими словами, решение задачи линейного программирования достигается в одной из вершин области D, см. рис. 4.2. Этот вывод является общим, т.е. он справедлив для любого . Таким образом, наметим следующий способ решения простейших задач линейного программирования. Необходимо найти значение целевой функции во всех вершинах области D (число вершин всегда конечно, т.к. конечно число ограничений типа неравенств), выбрать вершину с наименьшим значением целевой функции. Эта вершина и будет решением задачи линейного программирования. Из сказанного вытекает, что решение задачи линейного программирования для неограниченной области D может и не существовать. Кроме того, решений может быть и бесчисленное множество, если прямая (плоскость) параллельна одной из сторон (граней) многоугольника (многогранника), ограничивающего область D, рис. 4.4.

Пример. Пусть задача линейного программирования в эквивалентной постановке имеет следующий вид

;

;

; ;

.

Устанавливаем вид области D, рис. 4.5.

И сследуются три точки , , . В этих точках , , .

Точка А – решение задачи линейного программирования. Этот столь простой на первый взгляд метод решения задачи линейного программирования все же не пригоден, если вершин много, т.к. найти координаты их достаточно сложно. Поэтому и применяется симплекс-метод.

Рубежный тестовый контроль

1. Название раздела «линейное программирование» объясняется тем, что

   1. ограничения типа «равенства и неравенства», а также целевая функция являются линейными;

   2. целевая функция – линейная;

   3. ограничения в виде равенств и они линейные;

   4. отсутствуют ограничения в виде неравенств.

2. Ранг матрицы это

   1. наибольшее из чисел m и n;

   2. наименьшее из чисел m и n;

   3. наибольший порядок из отличных от нуля миноров этой матрицы;

   4. наибольший порядок минора этой матрицы.

3. Матричная система линейных уравнений является совместной, если

   1. система имеет хотя бы одно решение;

   2. система имеет хотя бы одно нетривиальное решение;

   3. к системе применима теорема Кронекера-Капелли;

   4. выполняется условие .

4. Постановка задачи линейного программирования

;

, , ,

является

1. основной постановкой;

2. эквивалентной;

3. не корректной;

4. не приведенной к стандартному виду.

5. Для применения симплекс-метода задача линейного программирования

   1. должна быть приведена к основной постановке;

   2. должна иметь форму эквивалентной задачи;

   3. может содержать как равенства, так и неравенства;

   4. должна иметь неизвестных больше, чем количество ограничений в виде равенств.

6. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования утверждает, что решение задачи линейного программирования

   1. лежит в допустимой области D;

   2. на границе допустимой области D;

   3. в одной из вершин области D;

   4. в наиболее удаленной вершине допустимой области D.

135