4.4. Эквивалентная задача линейного программирования

Речь пойдет о такой постановке задачи линейного программирования, которая эквивалентна ОЗЛП. В этой постановке все ограничения имеют вид неравенств.

Будем исходить из постановки ОЗЛП

;

; (4.41)

.

Пусть – ранг матрицы A, тогда, используя систему уравнений , r компонент n-мерного вектора x можно выразить через остальные n-r компоненты.

Например, пусть , , тогда три переменные из набора можно выразить через остальные две. Это может быть осуществлено не единственным образом. Все зависит от того, сколько отличных от нуля миноров порядка r имеет матрицa A. Сколько базисных миноров, столько и вариантов. Рассмотрим, как это можно осуществить практически.

В матрице А выберем любой базисный минор. Из элементов этого минора образуем матрицу, которую назовем базисной матрицей . Далее r уравнений системы , элементы которых вошли в , назовем базисными уравнениями (базисной системой). Остальные уравнения назовем свободной системой. Из элементов базисных уравнений, которые не вошли в , сформируем свободную матрицу . Из элементов вектора x, которые соответствуют и сформируем соответственно базисный и свободный векторы, т.е. и . Наконец, обозначим через и векторы, сформированные из элементов вектора B, которые соответствуют базисным и свободным уравнениям. Поясним сказанное на примере.

Пусть

, .

В данном случае в качестве базисного минора выберем, например, минор, элементы которого располагаются в первом и третьем столбцах, в первой и второй строках, т.е.

.

Этот минор равен пяти, т.е. отличен от нуля, а потому назначение его в качестве базисного правомерно. Далее, как это было оговорено выше, запишем, что

, , , ,

, .

Используя введенные выше обозначения, базисную систему запишем в виде

. (4.42)

Поскольку определитель

,

то матрица – не особая, а потому для нее существует обратная матрица

, (4.43)

где – алгебраические дополнения элементов определителя . В таком случае из (4.42) находим, что

, (4.44)

тем самым вектор выражен через вектор . Целевую функцию задачи (4.41) запишем в виде

, (4.45)

где векторы и образованы такими элементами вектора , которые отвечают соответственно векторам и . Выразим F (4.45) также через вектор , для этого воспользуемся выражением (4.44):

,

т.е.

, (4.46)

где -мерная строка

(4.47)

и скалярная величина

. (4.48)

Поскольку все компоненты вектора x должны быть не отрицательными, то, как это следует из выражения (4.44),

. (4.49)

Левую и правую части неравенства умножим на в результате чего получаем, что

, (4.50)

т.е.

. (4.51)

Итак, от задачи (4.41) мы перешли к задаче (4.51), (4.46), т.е.

; (4.52)

; (4.53)

. (4.54)

Это и есть эквивалентная постановка задачи линейного программирования. Задача (4.52) – (4.54) формулируется так – найти такой неотрицательный вектор , который, удовлетворяя ограничениям (4.52), (4.53), доставляет минимум целевой функции (4.54).

Замечание. Переменные из рассмотрения не выпали. Если решение задачи (4.52) – (4.54) будет найдено, то найдутся из (4.44).

Пример. Цель примера – показать, как осуществляется переход от ОЗЛП к эквивалентной задаче.

Пусть имеем следующую задачу (ОЗЛП)

;

;

,

где

, , , .

В данном случае и , где

.

Условия теоремы Кронекера-Капелли выполнены.

Поскольку , то две переменные , , можно выразить через третью. В матрице А выбираем базисный минор

,

в таком случае

, (4.55)

Заметим, что

;

или

. (4.56)

Для задачи (4.52) – (4.54) согласно (4.47), (4.48) имеем

;

Окончательно имеем следующую задачу

; (4.57)

;

, (4.58)

где

, , , .