4.3. Основная задача линейного программирования (озлп)

Рассмотрим систему уравнений

, (4.21)

где

, , , (4.22)

т.е. рассматривается система из m уравнений, которая содержит n неизвестных. Вопрос о том, как соотносятся между собой m и n, будет обсуждаться ниже. Рассмотрим также целевую функцию

, (4.23)

где – заданный вектор, – заданная константа.

Требуется найти такой вектор x, чтобы при выполнении ограничений

; (4.24)

, (4.25)

целевая функция

(4.26)

достигала минимума.

Замечание 1. Соотношения (4.24) содержат только равенства. Но вот, например, в задаче об использовании сырья ограничения-равенства вообще отсутствуют, зато фигурируют ограничения-неравенства вида

. (4.27)

Неравенство (4.27) преобразуем в эквивалентные ему соотношения, которые вписываются в рамки задачи (4.24) – (4.26). Неравенство (4.27) запишем в виде

.

Вводим далее новую переменную , потребовав, чтобы

; (4.28)

. (4.29)

Ограничение (4.27) эквивалентно ограничениям (4.28), (4.29). Таким образом, каждое ограничение в виде неравенства может быть превращено в ограничение-равенство, при этом, однако, появляется новая неизвестная величина. Эта новая переменная включается в целевую функцию (4.26) с нулевым коэффициентом .

Из сказанного вытекает, что сколько неравенств превращаются в равенства, столько новых (дополнительных) переменных должно быть введено.

Замечание 2. В том случае, когда требуется найти максимум целевой функции F(x), вводится новая целевая функция . Она и минимизируется.

Замечание 3. Как следует из (4.25), все переменные должны быть не отрицательными. Для переменных , которые по своей физической сущности не могут быть таковыми, вводится замена

. (4.30)

Если в ходе решения задачи линейного программирования будет найдена переменная , то это будет означать, что .

Замечание 4. Если некоторая координата такова, что она может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то в этом случае вводятся такие две новые переменные и , что

; (4.31)

(4.32)

Замечание 5. В соотношения (4.24) – (4.26) входят только одноиндексные переменные , а, например, в задаче использования оборудования применяются двухиндексные переменные.

С помощью замены

, , (4.33)

все двухиндексные переменные превращаются в новые, но уже одноиндексные. Например, имеются переменные , , , , , , т.е. имеются двухиндексные переменные , ; Вводим новые переменные

,

т.е.

.

Другими словами

, , , , , .

Если ; , то

. (4.34)

Пример. Рассмотрим пример из задачи использования оборудования, т.е. задачу (4.15)

, (4.35)

;

; (4.36)

;

. (4.37)

В данном случае вводим новые переменные

, , ,

т.е.

.

Соотношения (4.35) – (4.37) приобретают следующий вид:

(4.38)

(4.39)

;

, .

Неравенства (4.38) преобразуются в равенства:

;

,

т.е. имеем

(4.40)

Вводим матрицу

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

и векторы (см. (4.40), (4.39))

, , .

Задача в форме ОЗЛП запишется как

;

;

.