4.2. Примеры задач линейного программирования

Задача об использовании сырья

Пусть

– виды производимой продукции;

– виды используемого при этом сырья;

– запасы каждого вида сырья;

– расход сырья на производство единицы продукции ;

– прибыль, получаемая при реализации единицы продукции .

Сколько следует произвести продукции каждого вида , чтобы получить максимальную прибыль?

Искомые , должны удовлетворять ограничениям

, , (4.7)

которые означают, что общий расход каждому из видов сырья не должен превышать его запасов. Получаемая прибыль

, (4.8)

при этом

, . (4.9)

Таким образом, требуется найти такие , , чтобы при выполнении ограничений (4.7), (4.9), целевая функция (4.8) достигла максимума.

Пример. Пусть , , тогда задача (4.7) – (4.9) запишется в виде

;

;

; (4.10)

, ;

.

Задача об использовании мощностей оборудования

Пусть за заданное календарное время T необходимо произвести продукцию видов , соответственно в количествах , . Известно, что при этом используется машинный парк (агрегаты) , . Каждый агрегат имеет производительность – количество производимой продукции вида в единицу времени работы агрегатом , . Известна – стоимость единицы времени работы агрегата при производстве продукции . Обозначим через суммарное время, которое затратит агрегат на производство продукта за время T.

Требуется указать такие , чтобы стоимость выполнения задания была минимальной.

Заметим, что каждый агрегат на календарном отрезке T может иметь различный временной ресурс .

Общее время работы каждого агрегата не должно превышать его ресурс, т.е.

, . (4.11)

Кроме того,

, , (4.12)

это означает, что общее количество -й продукции, выпущенной на всех агрегатах, равняется плановому заданию.

Общая стоимость производства продукции

, (4.13)

при этом

, , . (4.14)

Требуется найти такие значения переменных , чтобы при выполнении ограничений (4.11), (4.12), (4.14) целевая функция (4.13) достигла минимума.

Пример. При имеем

;

;

;

; (4.15)

;

.

Транспортная задача

Имеется n месторождений некоторого сырья M_i, и – мощности тех предприятий, которые эти месторождения разрабатывают (размерность – количество сырья за некоторое календарное время T). Пусть , – потребители сырья с плановой потребностью , за время T. Обозначим через количество сырья, полученного j-м потребителем с i-го месторождения, а через – стоимость приобретения единицы сырья j-м потребителем на i-м месторождении.

В таком случае

, ; (4.16)

, ; (4.17)

; (4.18)

. (4.19)

Условия (4.16) означают, что поступление сырья должно быть плановым, (4.17) – что должны быть соблюдены ограничения по мощности добывающих предприятий, Z – общие затраты всех потребителей сырья.

Требуется найти такие значения переменных , для которых при выполнении ограничений (4.16), (4.17), (4.19) затраты (4.18) достигают минимума.

Кадровая задача

В отделе технического контроля (ОТК) работают контролеры первого и второго разрядов. За одну смену (8 часов) ОТК должно проверить не менее 1800 изделий. Контролер первого разряда проверяет 25 изделий в час и не ошибается в 98% случаев. Контролер второго разряда проверяет 15 изделий в час и не ошибается в 95% случаев. Часовая оплата контролера первого разряда 4 доллара, второго 3 доллара.

При каждой ошибке любого из контролеров ОТК несет убыток в 2 доллара. ОТК может использовать до 5 контролеров 1 разряда и до 10 контролеров второго. Найти оптимальный состав ОТК.

Пусть – количество контролеров первого разряда, – второго, тогда неравенство

(4.20)

означает, что все контролеры за одну смену должны проверять не менее 1800 изделий.

За один час работы ОТК несет расходы по содержанию

контролера первого разряда долларов;

контролера второго разряда доллара.

Общие расходы ОТК за смену

.

Требуется найти такие значения и , что при выполнении ограничений (4.20),

целевая функция (4.21) достигает минимума.