3.2. Метод случайного поиска

Найти такую точку , в которой целевая функция

(3.20)

достигает минимума, при выполнении ограничений

 , . (3.21)

В том случае, когда затруднительно строить градиент, или когда n или k – большие числа, применяется случайный поиск решения задачи. Его суть состоит в следующем. Переход от одной итерации к другой осуществляется по правилу

, (3.22)

где – скаляр, – случайный вектор, его компоненты независимые случайные величины, распределенные по определенному закону. Чаще всего используется равномерный закон распределения, рис. 3.5. Вектор формируется путем n-кратного обращения к датчику случайной величины .

А лгоритм случайного поиска.

1. Задается точка , причем такая, что , где – допустимая область, определяемая неравенствами (3.21).

2. Задается параметр .

3. С помощью датчика случайных чисел формируется случайный n-мерный вектор .

4. По формуле (3.22) вычисляется . Возможны следующие случаи.

а) , тогда постепенно уменьшают, проверяя при этом выполнение условия . Если это наступит до того, как

, (3.23)

где – малое положительное число, то осуществляется переход к пункту б), см. ниже. В противном случае формируется новое направление (переход к пункту 3).

б) , но . Точка считается неудачной, формируется новый вектор .

в) , и , точка принимается за .

5. Процесс поиска заканчивается, если N попыток выйти из точки окажутся безрезультатными, где N – некоторое большое число, например, .

Замечание 1. Метод случайного поиска можно использовать и в задачах с ограничениями типа «равенства»

, , .

Однако, в этом случае эти ограничения необходимо записать в виде

, (3.24)

где – некоторые положительные числа, причем они должны быть настолько малыми, чтобы при выполнении ограничений (3.24) решение задачи было приемлемым.

Замечание 2. Вообще говоря, изложенный метод не гарантирует отыскание минимума целевой функции , что следует из самой сути алгоритма. Однако, отыскание точки, весьма близкой к точке минимума вполне возможно. По крайней мере, полученный результат может быть использован в качестве первого приближения других методов, например, метода штрафных функций.

Пример. Заданы радиусы трех круговых контуров , , . Требуется так расположить контуры (указать координаты их центров) в первой четверти системы координат x0y, чтобы описанный вокруг них прямоугольник имел минимальный периметр, рис. 3.6.

З адача такого рода возникает при проектировании, например, радиоэлектронных устройств.

Ограничения:

(3.25)

– условия принадлежности контуров первой четверти;

;

; (3.26)

– условия непересекаемости контуров.

Целевая функция

. (3.27)

Аналогичным образом может быть поставлена задача об оптимальном раскрое материала, когда контуры заготовок и материала имеют произвольную форму.

Рубежный тестовый контроль

1. Метод многогранника применяется

1) при решении любых задач оптимизации;

2) только при решении задач оптимизации, в которых фигурируют ограничения типа «неравенства»;

3) только при решении задач на безусловный экстремум;

4) при решении задач оптимизации с недифференцируемыми или весьма сложными целевыми функциями.