Тема 6. Аналітично-експериментальні методи досліджень.

Метод аналогії; формування критеріїв аналогії. Теорія подібності; числа гідродинамічної та теплової подібності. Метод аналізу розмірностей; π – теорема; процедура формування безрозмірних комплексів.

Як зазначалося, математичне моделювання є одним з основних методів сучасного наукового дослідження. Інтегральні і диференційні рівняння описують клас явищ і для отримання часткового рішення з цього класу треба чітко сформулювати умови однозначності. Невірне прийняття цих умов призводить до помилок в результатах, оскільки вивчається не запланований процес, а видозмінений. Окрім того, досить часто знайти аналітичне рішення за заданих умов однозначності немає можливості, що спонукає дослідника до спрощень у вихідному диференційному рівнянні і може призвести до перекручення фізичної сутності процесу.

Встановлення умов однозначності в таких випадках потребує проведення експерименту. Експеримент, взагалі, є засобом перевірки розроблених моделей, а також розробки нових. Його основними задачами є:

- виявлення нових явищ та фактів;

- перевірка гіпотез або теорій;

- фізичне моделювання, тобто відтворення явища в масштабі для вивчення таких його кількісних та якісних характеристик, які за якихось обставин не можуть бути визначені теоретичним шляхом.

Особливістю експерименту є надійність і, водночас, локальний характер результату. Це означає, що цей результат не може бути автоматично поширений на процес або об’єкт, навіть близький за фізичною сутністю. Встановлені емпіричні залежності між окремими змінними об’єкту або процесу діють лише у визначених інтервалах і вихід за межі цих інтервалів може призвести до грубих помилок. Але з цього не треба робити висновок, що результати поодиноких дослідів взагалі не можуть бути поширені ні на які інші випадки.

Нелокальний характер експерименту можна отримати при відповідному теоретичному аналізі і математичній обробці даних дослідів, для чого комбінують аналітичні методи з експериментальними. При цьому сполученні явища або процеси вивчають не ізольовано один від одного, а комплексно. Різні об’єкти з їх специфічними змінними об’єднуються в комплекси, які характеризуються єдиними законами. Це і дозволяє розповсюдити аналіз одного явища на інші аналогічні явища. Кількість змінних при цьому зменшується за рахунок заміни їх на узагальнені критерії, що спрощує отримане математичне рішення. З цієї групи методів досліджень набули поширення методи аналогії, подібностей та розмірностей.

Термін “аналогія” було уведено ще Аристотелем, що означає подібність предметів або явищ у яких-небудь властивостях. Він розглядав аналогію як функціональну та морфологічну подібність органів у різних організмів, а потім Евклід розширив її до подібності відносин. У той же час аналогія була поділена на якісну, тобто, подібність будови і функцій органів у рослин та тварин, і кількісну, тобто, подібність відносин, зв’язків.

Ще Демокрит та Левкіп у Давній Греції використовували аналогію там, де було недостатньо фактичних знань, зокрема, у своїх спробах вивчити структуру макрокосму за аналогією з мікрокосмом, шляхом спостереження за рухом порошин у повітрі. Стробон за аналогією процесів приливів та відливів, утворення та зникнення острівців висунув припущення щодо рухливості земної кори, періодичного повільного підняття та опускання великих ділянок суші, що складає суть явища епейрогенезу. Італійські архітектори Середньовіччя з успіхом використовували моделі споруд; Ньютон поширив використання аналогії на динаміку, на процеси механічного руху. Тобто, вже тоді були започатковані правила переносу інформації з аналогу на оригінал – прототип, але, в основному, метод аналогії залишався потужним засобом розвитку інтуїції, створення підґрунтя наукових відкриттів, формування гіпотез.

За методом аналогії можна досліджувати різні фізичні процеси, якщо вони мають ідентичний математичний опис.

Прикладами таких аналогій можуть служити:

- залежність теплового потоку від температурного перепаду за законом Фур’є:

q_T = , де λ – коефіцієнт теплопровідності;

- залежність переносу маси від градієнту концентрації речовини за законом Фіка: q_P = , де μ – коефіцієнт переносу маси речовини;

- залежність переносу електричного заряду в провіднику від перепаду напруги по його довжині за законом Ома: q_e = , де γ = - коефіцієнт електропровідності, ; ρ – питомий опір 1 погонного метра провідника, .

В залежності від того, що прийняте за оригінал і модель, існують різні види моделювання методом аналогії. Якщо тепловий потік вивчають на моделі з рухом рідини, то це гідравлічне моделювання; якщо на електричній моделі, то це електричне. Вибір виду моделювання залежить від складності об’єкту досліджень і моделі, її вартості, точності результатів, універсальності, тобто, можливості постановки різних експериментів.

Аналогічність математичного опису процесів в оригіналі і моделі не означає, що ці процеси є абсолютно ідентичними. В наведених рівняннях неможливо порівнювати потоки теплоти і маси, коефіцієнти теплопровідності і переносу маси речовини, температуру і концентрацію. Це зовсім різні фізичні величини.

В методі аналогії для усунення невідповідності фізичних величин рівняння подаються в безрозмірному вигляді. Кожна змінна величина Х_і в рівнянні об’єкту і У_і в моделі являє собою добуток деякої сталої розмірності Х_рі (У_рі) та безрозмірної змінної Х_бі (У_бі), тобто: Х_і = Х_ріХ_бі ; У_і = У_рі У_бі .

Для ідентичності безрозмірних рівнянь необхідно дотримання критеріїв аналогії, тобто рівностей виду:

Кількість цих критеріїв є на одиницю меншою, ніж кількість членів рівняння, що вивчається, і за допомогою їх встановлюють параметри моделі за вихідним рівнянням об’єкту досліджень. Оскільки кількість невідомих перевищує кількість рівнянь, то деякі параметри моделі задають, наприклад, час спостереження процесу на моделі.

Процес формування критерію аналогії розглянемо на прикладі рівнянь теплопровідності і електропровідності. Позначимо в них:

q_т = q_трq_тб ; λ = λ_р λ_б ; t = t_р t_б ; q_е = q_ерq_еб ; γ = γ_р γ_б ; U = U_р U_б ; Х = Х_р Х_б .

Тоді рівняння Фур’є і Ома отримують вигляд:

q_трq_тб = - λ_р λ_б ; q_ерq_еб = - γ_р γ_б .

Оскільки розмірні величини є сталими, то безрозмірні рівняння мають вигляд:

; .

Вони є ідентичними, якщо виконується критерій аналогії:

= .

Теорія подібності – це вчення про подібність явищ. Цей метод є найбільш ефективним у випадку неможливості отримання залежності на основі рішення диференційного рівняння.

За допомогою методу подібності з використанням даних експерименту складають рівняння або систему рівнянь, рішення яких можна розповсюдити за межі експерименту. Для прикладу розглянемо групу прямокутників. Це клас плоских фігур, які об’єднані загальними властивостями - вони мають по 4 сторони і 4 прямих кути. З цього класу можна виділити поодиноку фігуру, яка має конкретні числові значення сторін ℓ₁ та ℓ₂ , які і є умовами однозначності для даного прямокутника.

Якщо величини ℓ₁ та ℓ₂ помножити на деяке конкретне число К_ℓ, то отримаємо серію (групу) подібних фігур зі співвідношенням:

,

де К_ℓ - критерій подібності для даної групи (рис. 7) .

Якщо критерій подібності буде приймати інші значення (К_а, …, К_х) , то отримуємо клас подібних фігур. Це простіший приклад геометричної подібності.

Для інших фізичних величин, зокрема для часу, тиску, в’язкості, температуропроводності, критерії подібності мають вигляд:

; ; ; .

Тобто, будь – яке диференційне рівняння характеризує відповідний клас явищ. За наявності граничних умов і критеріїв подібності з цього класу чітко виділяється група явищ. За наявності граничних умов без критеріїв подібності диференційне рівняння описує лише частковий випадок.

Базовими теоремами теорії подібності є наступні.

1. Теорема Ньютона: в подібних системах критерії подібності є рівними між собою і величинами сталими. В іншому формулюванні ця теорема має вигляд: якщо фізичні процеси є подібними, то критерії подібності цих процесів є рівними між собою.

2. Теорема Бекінгема (1914 р.) : критерії подібності, які отримані з диференційних рівнянь, відповідають критеріям подібності при інтегруванні цих рівнянь. Це означає, що рівняння, які описують фізичні процеси, можуть бути складені на базі диференційного зв’язку між критеріями подібності.

3. Теорема М. В. Кірпічова та А. А. Гухмана: два фізичні явища є подібними, якщо вони описуються одною і тою ж системою диференційних рівнянь і мають подібні умови однозначності (граничні умови), а їх визначальні критерії подібності чисельно є рівними.

Критерії подібності звичайно позначають двома латинськими літерами за прізвищем вчених. Вони є безрозмірними, незалежними один від одного, а їх сполучення дає інші критерії. Кожен з цих критеріїв несе в собі певний фізичний смисл. Так, критерій Рейнольдса, який відноситься до групи критеріїв гідродинамічної подібності, характеризує співвідношення сил інерції і сил терця в потоці газу або рідини: , де ν і μ – кінематична і динамічна в’язкість речовини; ρ – її густина; ω – швидкість руху; ℓ - характерний розмір (довжина, діаметр, відстань).

До цієї ж групи критеріїв відносяться також:

- критерій Ейлера - це співвідношення гідравлічного опору та динамічного напору на даній ділянці: , де ∆Р – падіння тиску при руху середовища внаслідок тертя. Цей критерій можна записати: і трактувати, як відношення сил тиску до сил інерції в потоці;

- критерій Ньютона характеризує відношення рушійної сили в потоці до сили інерції в ньому: ;

- критерій Фруда: , який характеризує відношення сили ваги до сили інерції в одномірному потоці;

- критерій Вебера використовують за умови суттєвого впливу сил поверхневого натягнення і він являє собою відношення інерційних сил до сил поверхневого натягнення: , де σ – коефіцієнт поверхневого натягнення;

- критерій Архімеда - це співвідношення підйомної сили (архімедової) та сили інерції в неізотермічному середовищі: .

В іншому вигляді цей критерій характеризує співвідношення сили тяжіння та сили в’язкості середовища, в яке занурено тіло: , де ρ_т і ρ – густина тіла і середовища;

- критерій Галілея є визначальним за умови переваги дії сил в’язкого тертя над силами земного тяжіння під час вільної течії середовища і являє собою відношення сил молекулярного тертя до сил ваги в потоці при дії лише масових сил:

;

У випадку суттєвого впливу пружних сил, наприклад, в процесі гідравлічного удару в трубах або течії стислого середовища, треба враховувати відношення сил інерції до сил пружності в потоці за критерієм Коші: , де Е – модуль пружності.

Як добуток чисел Ейлера і Рейнольдса може бути подане число Лагранжа:

, яке є мірою відношення сили тиску при наявності гідравлічних опорів до сил в’язкості. Його використовують для встановлення подібності повільних течій в’язких середовищ.

Інша група критеріїв використовується для дослідження теплових процесів. Зокрема, критерій Нусельта характеризує конвекційно – кондуктивний перенос теплоти від середовища до поверхні тіла: , де α_к – коефіцієнт конвекційної тепловіддачі; λ_с – коефіцієнт теплопровідності середовища.

Критерій Фур’є характеризує швидкість вирівнювання тепла в тілі: , де а - коефіцієнт температуропроводності.

Для характеристики співвідношення підйомних сил і сил в’язкості в умовах вільної конвекції використовують критерій Грасгофа: , де t₁ та t₂ – температури середовища, що відповідно віддає та сприймає тепло.

Критерій Біо – це співвідношення термічних опорів усередині тіла, що нагрівається, та на границі теплообміну із середовищем: .

Критерій Стентона характеризує здатність потоку середовища віддавати тепло по відношенню до власної теплоємності: , де F - поверхня нагрівання; М і с – масова витрата та питома теплоємність потоку.

(Якщо помножити і розділити праву частину на різницю температур між середовищем і тілом t, то в чисельнику отримуємо фактичний тепловий потік до поверхні тіла q_від, а в знаменнику – надлишкову кількість теплоти q, яку несе потік середовища, по відношенню до тіла, що нагрівається).

Аналогом критерію Біо є критерій Старка, який застосовують в умовах радіаційного теплообміну: Sк = - σ(T_С²+Т²_Т)(Т_С+Т_Т) = , де σ(Т_С²+Т_Т²)(Т_С+Т_Т) –аналог коефіцієнту тепловіддачі; σ - зведений коефіцієнт випромінювання; Т_С, Т_Т – температура випромінюючого середовища і тіла.

Критерій Прандтля є безрозмірним фізичним параметром середовища (рідини, газу): Рr = _.

Існує багато інших критеріїв подібності: Кірхгофа, Ликова, Бусінеска, Відерникова, Бугера і т.д.

Для поширення дослідних даних на подібні явища їх треба опрацювати у формі чисел подібності. Тобто, математичну залежність треба шукати не між окремими параметрами якогось явища, а між їх безрозмірними комплексами –критеріями подібності. Форма цієї залежності визначається формою диференційного рівняння і крайових умов для даного процесу.

В разі неможливості безпосереднього опису об’єкту диференційними рівняннями, залежності між параметрами його встановлюються експериментально. Для обмеження об’єму дослідів і встановлення зв’язку саме між основними параметрами застосовують метод аналізу розмірностей.

Дамо деякі визначення з теорії розмірностей. Фізична величина є розмірною, якщо її числове значення залежить від вибору основних величин та їх одиниць, що утворюють дану систему одиниць фізичних величин. Розмірні величини – це маса, час, довжина і т.д.; їх вимірюють у кілограмах, секундах, метрах і т.д., тобто, у абсолютних одиницях. Абсолютна одиниця – це реально існуюча фізична величина, числове значення якої умовно прийняте за одиницю.

Кожна розмірна величина має свою власну розмірність, що відображує якісний зв’язок її одиниці з основними одиницями даної системи одиниць фізичних величин. Наприклад, сила має розмірність Н (ньютон) у системі СІ і ця розмірність пов’язана з базовими одиницями співвідношенням .

Безрозмірними величинами називають такі, значення яких принципово не залежить від вибору основних величин та їх одиниць. Їх вимірюють у відносних одиницях або частках – відсотках, проміле тощо. Це може бути відношення однойменних за розмірністю величин, наприклад, розмірів, густини речовин і т.д.; ваговий або об’ємний вміст речовини у розчині або у суміші; комбінація декількох величин різної розмірності, що мають різні ступені.

Метод аналізу розмірностей базується на π-теоремі подібності, яка була вперше сформульована і доказана Г.А. Федерманом в 1911р.: будь - яке рівняння відображує певну фізичну закономірність і з цієї причини не залежить від вибору одиниць виміру, а пов’язує між собою N фізичних величин, серед яких n величин мають незалежні розмірності, може бути перетворене на рівняння, яке пов’язує між собою (N - n) незалежних безрозмірних комплексів, складених з названих N фізичних величин.

В якості прикладу встановимо залежність сили F, яка діє на тіло в потоці, від швидкості цього потоку ω, його густини ρ і площі перпендикулярного потоку переріза тіла S, тобто знайдемо в функції F = f(ω^x, S^y, ρ^z) значення х, у, z.

Оскільки [F] = [ω^x, S^y, ρ^z ], то маємо: .

Для різних розмірностей складемо рівняння і з системи знайдемо значення х, у, z:

• кг: 1 = z;

• м: 1 = х +2у – 3z;

• с: -2 = -х;

х = 2; у = 1; z =1.

Тоді залежність буде мати вигляд: F = f(ω², S, ρ).

Звичайно залежність отримують в критеріальному вигляді. Припустимо, що процес характеризується N величинами α₁, α₂, …., α_N. Необхідно знайти функціональну залежність F від цих змінних F = f(α₁, α₂, …., α_N). За методом розмірностей з N величин вибирають n незалежних одна від одної змінних, кількість яких відповідає кількості основних одиниць виміру (кг, с, м, К). Інші (N – n) величин вибирають таким чином, щоб вони були представлені в функції F як безрозмірні. Наприклад, якщо функція залежить від N = 6 величин, які характеризуються n = 3 основними одиницями виміру, то безрозмірна функція має вигляд: .

Три одиниці означають, що перши три числа є відношенням α₁, α₂, α₃ до рівних собі значень α₁, α₂, α₃ . Числові значення показників ступенів х, у, z; х₁ , у₁ , z₁ ; х₂ , у₂ , z₂ ; х₃ , у₃ , z₃ визначають з аналізу безрозмірної функції.

Складемо безрозмірну функцію до наведеного вище прикладу, причому врахуємо додатково вплив динамічної в’язкості μ, прискорення вільного падіння g та тиску Р. Функціональну залежність можна записати у вигляді:

F = f(ω, S, ρ, μ, g, P) .

Приймемо в якості незалежних розмірності ω, S, ρ, які включають в себе три основні одиниці виміру (кг, м, с): ; ; .

Запишемо залежність в безрозмірному вигляді:

.

З лівої частини рівняння знайдемо значення ступенів х, у, z:

[F] = [ω^x, S^y, ρ^z ] ; ; х = 2; у = 1; z =1.

Для першого комплексу правої частини складаємо систему рівнянь для коефіцієнтів і знаходимо їх значення:

[μ] = [ω^x1, S^y1, ρ^z1 ] ; .

• (кг) 1=z₁;

• (м) - 1= х₁ + 2у₁ – 3z₁;

• (с) - 1 = - х₁;

х₁ = 1; у₁ = ½; z₁ = 1.

Для другого комплексу правої частини рівняння маємо:

[g] = [ω^x2, S^y2, ρ^z2 ] ; .

• (кг) 0 = z₂;

• (м) 1= х₂ + 2у₂ – 3z₂;

• (с) - 2 = - х₂;

х₂ = 2; у₂ = - ½; z₂ = 0.

З третього комплексу правої частини отримуємо систему рівнянь відносно ступенів розмірностей і їх значення:

[Р] = [ω^x3, S^y3, ρ^z3 ] ; .

• (кг) 1 = z₃;

• (м) - 1= х₃ + 2у₃ – 3z₃;

• (с) - 2 = - х₃;

х₃ = 2; у₃ = 0; z₃ = 1.

Тоді безрозмірна функція отримає вигляд: .

Якщо вважати, що являє собою деякий лінійний розмір, то перший комплекс в правій частині є зворотнім критерію Рейнольдса, другий – зворотнім критерію Фруда, а третій є критерієм Ейлера. Тобто функція залежить від цих критеріїв: .

Отримані в результаті перетворень безрозмірні комплекси можуть мати більш складний характер і їх фізична інтерпретація викликає певні труднощі, хоча алгоритм їх визначення залишається тим же самим.