Тема 16. Обробка результатів експерименту за планами другого порядку.

Визначення дисперсії репродуктивності, коефіцієнтів взаємодії, лінійних та квадратичних ефектів та оцінка їх значимості. Оцінка адекватності нелінійної моделі та її використання для оптимізації об’єкту.

При обробці результатів реалізації ортогональних планів коефіцієнти регресії обчислюють за формулами:

в₀^/ = ; ; ; ; , де .

Дисперсії коефіцієнтів визначають за формулами: ; ; ; , де S₀² – помилка досліду.

Оцінка значимості коефіцієнтів виконується за критерієм Стьюдента, як і для планів ПФЕ.

Дисперсію адекватності знаходять за формулою: , де l – число членів рівняння регресії, які залишилися після відсіювання незначущих коефіцієнтів.

Адекватність також перевіряють, як і для планів ПФЕ, за критерієм Фішера.

За результатами реалізації рототабельного плану розрахунок коефіцієнтів регресії виконується за формулами:

,

; ; ,

де допоміжні параметри визначають за виразами:

; ;

Помилку досліду, тобто, дисперсію репродукційності, визначають за результатами дослідів в центрі плану:

.

Дисперсії коефіцієнтів обчислюють за формулами: ; ; ; .

Перевірка значимості коефіцієнтів проводиться за критерієм Стьюдента: ; ; ; для числа ступенів свободи f₀ = N₀ – 1 і рівня значимості q.

Для перевірки адекватності моделі розраховують суму квадратів відхилень експериментальних даних у_u від прогнозованих : і число ступенів свободи: f_від = N – l, де l – кількість членів в рівнянні регресії, які залишилися після відсіювання незначущих коефіцієнтів.

Потім визначають критерій Фішера: і порівнюють його з табличним для числа ступенів свободи f₀ = N₀ – 1; f_ад = f_від – f₀ і рівня значимості q. Якщо F_p ≤ F_T, то модель є адекватною. В такому випадку можна переходити до визначення координати оптимуму одним з пошукових методів або вирішити цю задачу аналітично з урахуванням необхідних та достатніх умов існування екстремуму.

Якщо нелінійна модель виявилася неадекватною, частіше за все в план вводять додаткові фактори і експеримент знову повторюють.

Приклад. При реалізації плану експерименту другого порядку на об’єкті дослідження і обробки результатів отримана адекватна нелінійна модель:

= 85,14 + 0,43х₁ + 0,32х₂ – 1,6х₁² – 1,19х₂² – 3х₁х₂ .

Треба знайти оптимальні умови роботи об’єкту.

Рішення. Необхідні умови існування екстремуму функції :

= 0,43 – 2*1,6х₁ – 3х₂; = 0,32 – 2*1,19х₂ – 3х₁ .

Вирішуємо цю систему рівнянь і знаходимо координати екстремуму:

х₁^* = - 0,0458; х₂^* = + 0,1922

Гесіан функції:

=

Кутовий мінор першого порядку Δ₁ є негативним (Δ₁ = - 3,2). Негативним є також визначник гесіану: Δ = ( - 3,2)(- 2,38) – ( - 3)( - 3) = - 1,384.

Таким чином, в точці екстремуму спостерігається максимум цільової функції, абсолютна величина якого = 85,161.

Література

1.Баптизманский В.И., Воловик Г.И., Емлин Б.И. Основы научных исследований в черной металлургии/Под общ. ред. Ю.Н. Яковлева. – Киев; Донецк: Вища школа, 1985. – 205с.

2. Богобоящий В.В., Курбанов К.Р., Палій П.Б., Шмандій В.М. Принципи моделювання та прогнозування в екології. Підручник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 216 с.

3.Бондарь А.Г., Статюха Г.А., Потяженко И.А. Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической технологии. – К.: Вища школа, 1980. – 264с.

4.Глущенко И.М., Пинскер А.Е., Полянчиков О.И., Трикило А.И. Основы научных исследований. – К.: Вища школа, 1983. – 158с.

5.Грушко И.М., Сиденко В.М. Основы научных исследований. – Харьков: Изд. ХГУ, 1983. – 224с.

6.Гухман А.А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. – М.: Высш. школа, 1974. – 328с.

7.Ковшов В.Н. Постановка инженерного эксперимента. – Киев; Донецк: Вища школа, 1982. – 120с.

8.Крутов В.И., Грушко И.М., Попов В.В. Основы научных исследований. – М.: Высш. школа, 1989. – 399с.

9.Лудченко А.А., Лудченко Я.А., Прима Т.А. Основы научных исследований: Учеб. пособие/ Под ред. А.А. Лудченко. – К.: О-во «Знания», КОО, 2000. – 114 с.

10.П’ятницька-Позднякова І.С. Основи наукових досліджень у вищій школі: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2003. – 116 с.

11.Рузавин Г.И. Методы научного исследования. – М.: Мысль, 1984. – 238с.

12.Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. – М.: Мир, 1981. – 693с.

13.Методологія та організація наукових досліджень. Навчальний посібник/ В.П. Бобилєв, І.І. Іванов, Ю.С. Пройдак. – Дніпропетровськ: Системні технології, 2008. - 265с.

14.Основи наукових досліджень : Навчальний посібник / Цехмістрова Г.С. - Київ: Видавничий Дім «Слово», 2003.- 240 c.

15.Гліненко Л.К., Сухоносов О.Г. Основи моделювання технічних систем. – Навч. посібник. – Львів: Видавництво «Бескит Біт», - 2003. – 176 с.

16.Ковальчук В. В. Основи наукових досліджень : навч. посіб. / В. В. Ковальчук, Л. М. Моїсеєв. - 2-ге вид., переробл. і допов. - К. : ВД "Професіонал", 2004. - 216 с.

17.Сидоренко В. К. Основи наукових досліджень / В. К. Сидоренко, П. В. Дмитренко. - К. : РНКЦ "РІНІТ", 2000. - 259 с.

18.Філіпченко А. С. Основи наукових досліджень. Конспект лекцій : посібник / А. С. Філіпченко. - К. : Академвидав, 2004. - 208 с.