
- •§10. План исследования функции и построение графика
- •§ 11. Вектор-функция скалярного аргумента. Основные понятия
- •§ 12. Понятие кривой, касательная к кривой, длина кривой
- •§13. Кривизна и кручение кривой
- •Глава 7. Неопределённый интеграл
- •§ 1. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица интегралов
- •§ 2. Основные методы интегрирования
§13. Кривизна и кручение кривой
М
Пусть
– гладкая
кривая,
– единичный
вектор касательной к кривой
в точке
,
а
– в точке
,
– приращение
вектора
на дуге
,
длина которой
,
а угол между векторами
и
равен
.
Его называют углом смежности (см. рис.).
Определение 1. Кривизной кривой в точке называют предел отношения угла смежности к длине дуги , то есть
(1)
Обратную величину
называют радиусом кривизны кривой в
точке
.
Из рисунка видно, что
при
(2)
Тогда из (1) с учётом (2) получим
(
)
Лемма. Производная единичного вектора перпендикулярна к самому вектору.
Доказательство.
Пусть
– единичный
вектор. Тогда
.
Дифференцируя это тождество, найдём
.
Что и требовалось доказать.
Продифференцируем
(см. (15) §12)
ещё раз
(3)
Здесь
– кривизна
кривой, а
– единичный
вектор. Согласно лемме он перпендикулярен
единичному вектору касательной
.
Его называют главной нормалью кривой
в точке
.
Единичный вектор
называют
бинормалью,
а правую ортонормированную тройку
векторов
и
репером
Френе.
Если
– скорость
точки, то
– её
ускорение. По правилу дифференцирования
сложной функции найдём
. (4)
. (5)
Получили разложение
ускорения на касательное
и нормальное
.
Предполагая
существование нужных производных,
выразим кривизну
кривой через
производные векторной функции
.
Поскольку векторы
и
коллинеарные, то угол смежности между
векторами
и
будет равен углу между векторами
и
.
. (6)
Поскольку
и
при
(см. ( ) §12), то из (1) получим
Итак,
(7)
Плоскость, проходящую
через точку
на кривой
,
нормалью которой служит бинормаль
,
называют соприкасающейся
плоскостью.
Так как
,
а
(см. (5)), то векторы
перпендикулярны бинормали
,
следовательно, лежат в соприкасающейся
плоскости.
Пусть
– произвольная
точка соприкасающейся плоскости. Тогда
векторы
и
– компланарные
и их смешанное произведение равно нулю.
(8)
Уравнение (8) – уравнение соприкасающейся плоскости.
Пусть
– угол
между двумя соприкасающимися плоскостями,
проходящими через точки
и
на кривой
,
а
–
длина дуги
.
Определение 2. Предел отношения угла к длине дуги называют абсолютным кручением кривой в точке
(9)
Угол
между соприкасающимися плоскостями в
точках
и
равен углу между нормалями
и
в этих точках. Сравнивая определения
кривизны и абсолютного кручения, видим,
что они ничем не отличаются, углы только
берутся не между касательными, а между
бинормалями. Поэтому аналогично получим
формулу
(
)
(см. вывод формулы ( )).
Согласно лемме
и
– ортогональны.
Поэтому можно записать
(10)
где
и
– неизвестные
коэффициенты разложения.
Дифференцируя
тождество
,
получим
Учитывая это, перепишем (10) в виде
(
)
Продифференцируем другое тождество . Получим
. (11)
Из (11) получим
(12)
Сравнивая (12) с
(
),
найдём
.
Назовём
кручением кривой в точке
(в отличие от абсолютного кручения
может быть и отрицательным). Перепишем
формулу (
)
и (11)
(
)
(
)
Дифференцируя (3), получим
(13)
Выпишем полученные формулы.
(см. (15) §12),
(3),
(13).
Найдём векторное произведение
(14)
Найдём смешанное произведение
.
. (15)
Зная векторное
представление кривой
,
по формуле (15) можно вычислить кривизну
.
Замечание. Формула
(15) верна и в том случае, если производные
берутся не по длине кривой
,
и по параметру
.
То есть формулу (15) можно записать
. (
)
Пример. Найти
кривизну и кручение винтовой линии
,
.
Решение. Найдём производную радиус-вектора
.
,
,
.
.
.
Согласно ( ),
.
Согласно (7),
Как видно, винтовая линия имеет постоянное кручение и кривизну.