§ 12. Понятие кривой, касательная к кривой, длина кривой

Рассмотрим однозначное и непрерывное отображение отрезка в пространство , . Образ называют непрерывной кривой Жордана в пространстве . Заметим, что кривая не является графиком функции .

Хотя пространство (n 2) не является упорядоченным, множество точек кривой можно упорядочить следующим образом. Пусть – точки из и – точки на . Будем считать ( предшествует ). Тем самым мы задали направление на кривой .

Рассмотрим частный случай отображения, когда . Возьмём декартову систему координат, то есть точку 0 из и ортонормированный базис  .

Тогда непрерывная вектор-функция – геометрический вектор. Закрепим его начало в начале координат и этот, уже несвободный вектор, обозначим

(1)

и назовём радиус-вектором. При непрерывном изменении параметра конец радиус-вектора опишет некоторую кривую (годограф), о которой речь шла выше.

Очевидно, векторное равенство (1) эквивалентно системе

( )

скалярных уравнений. Равенство (1) называют векторным представлением кривой, а ( ) – параметрическим.

О параметрическом представлении кривой на плоскости уже говорилось в §7 гл. 5. Обратим внимание только на неоднозначность такого представления. Например,

(2)

– различные представления одной и той же кривой – эллипса.

Будем трактовать параметр как время. Тогда (1) или ( ) определяют не только траекторию движения точки, но и закон движения точки по этой траектории. Из (2) видно, что по одной и той же траектории (эллипсу) точки движутся по разным законам, то есть у них разные скорости и ускорения, в чём мы убедимся позже.

Если при разных значениях функция принимает одно и то же значение, то говорят, что кривая имеет кратные точки. Например, эллипс (см. второе представление в (2)) пробегается дважды, все его точки кратные. Кривую без кратных точек называют простой. В этом случае отображение взаимно-однозначное. Если – единственная кратная точка, то кривая называется замкнутой, или контуром (см. первое представление в (2)).

Замечание. Параметрическое представление кривой является настолько общим, что имеются примеры непрерывных кривых, которые не совпадают с обычным представлением о кривой. Например, можно так определить функции , что при непрерывном возрастании от 0 до 1 переменная точка , отправляясь из начала координат, пробежит буквально все точки единичного квадрата и окажется в точке (1,1). Эту кривую называют кривой Пеано.

Пусть (1) – векторное представление непрерывной кривой, а параметр  – время. Очевидно, векторы и коллинеарные и расположены на секущей.

. (3)

Так как предельное положение секущей есть касательная, то предполагая существование производной , из (3) в пределе получим

. (4)

Здесь – скорость движения точки по траектории, – единичный вектор касательной. При этом из способа задания направления кривой следует, что всегда направлен в сторону движения точки, если .

Пусть – произвольная точка на касательной. Тогда из (4) следует коллинеарность векторов и , то есть

(5)

Получили уравнение касательной к кривой в точке .

Рассмотрим в простую кривую

. (6)

Пусть – некоторое разбиение отрезка . Обозначим это разбиение

.

Каждой точке разбиения отвечает точка кривой. Соединяя последовательно точки отрезками прямой, получим ломанную, вписанную в кривую . Обозначим через длину ломанной. Тогда

. (7)

Здесь .

Определение. Величина , где верхняя грань взята по возможным разбиениям , называются длиной кривой . Если , то кривая называется спрямляемой. Если – непрерывная, отличная от нуля функция на , то кривая (6) называется гладкой.

Теорема 1. Если кривая (6) гладкая, то она спрямляемая, а её длина удовлетворяет неравенству

(8)

Здесь

(9)

Inf и производных берутся по отрезку .

Доказательство. Так как функции удовлетворяют теореме Лагранжа на каждом из отрезков , то имеем

Подставляя это в (7), получим

. (10)

Из (9) следует

, , . (11)

Учитывая (11), из (10) получим

(12)

Поскольку (12) имеет место для любого разбиения, а sup всегда существует, то из (12) следует (8). Теорема доказана.

Будем отсчитывать длину дуги от начальной точки . Пусть , – произвольная точка дуги . Тогда переменная длина дуги – функция непрерывная и строго возрастающая.

Теорема 2. Если кривая (6) гладкая, то непрерывно дифференцируемая функция, причём

(13)

Доказательство. Запишем формулу (8) для отрезка , . Разделив все части полученного неравенства на , имеем

. (14)

Напомним, что ,

.

В силу гладкости кривой функция непрерывна, поэтому

.

Аналогично найдём, что

,

.

Переходя к пределу в (14), получим

.

Тогда, согласно теореме о двух милиционерах из (14), получим (13). Теорема доказана.

Следствие 1. Если при задании кривой вместо параметра взять длину дуги , то, аналогично рассуждая, вместо (13) получим

( )

Так как строго возрастает, то и из ( ) следует, что

и (15)

Где  – единичный вектор касательной. Величину называют дифференциалом дуги .

Следствие 2. Так как строго монотонная и непрерывно дифференцируемая функция, то она имеет обратную функцию, строго монотонную и непрерывно дифференцируемую (см. §11 гл. 4).

Следствие 3. Если , то из следует, что .