§7. Производные высших порядков от сложной, неявной и параметрически заданной функций
Сложная функция
дифференцируется
по формуле (3) §5
Используя эту формулу и правило дифференцирования, найдем вторую производную.
(1)
Аналогично можно найти все остальные производные.
Пример 1.
,
.
Пусть функции
и
(2)
определены в
некоторой окрестности точки
и пусть функция
в этой окрестности имеет обратную
.
Тогда
– сложная функция аргумента
.
Переменную
называют параметром, а уравнения (2)
называют параметрическим заданием
функции
.
Пример 2. 
– эллипс. Таким
образом, данная система функций
, 
параметрически задаёт сложную функцию,
графиком которой является эллипс.
Упражнение.
Убедиться,
что
,
,
–параметрическое задание гиперболы
.
Пример 3.
.
График этой функции называется циклоидой.
Найдём производную функции, заданной параметрическими уравнениями , . Используя правила дифференцирования сложной и обратной функций и предполагая существование производных, получим:
.
Итак,
.
(3)
Аналогично получим и вторую производную
(4)
Пример 4. Записать
уравнение касательной к эллипсу
,
в точке
Решение. Точке
М
соответствует значение параметра
.
Воспользуемся формулой (3). Получим
– уравнение
касательной, или
Найдём вторую производную данной функции в точке .
Функция
называется
неявной (неявно заданной), если она
заданна уравнением, не разрешенным
относительно
.
Например,
– неявно заданная функция
,
а
– явно заданная эта же функция. Однако
не всегда неявную функцию можно записать
в явном виде. Например, уравнение
в окрестности
точки
определяет функцию
,
однако не ясно, как её записать в явном
виде. Пусть
определяет неявную функцию
в некоторой окрестности точки
.
Это значит, что
,
.
(5)
Дифференцируя
тождество (5) по
как сложную функцию, можно найти
Рассмотрим это на примере.
Пример 5.
.
Найти
и
в точке
.
Решение.
.
§8. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков
Дифференциал
первого порядка
является
функцией двух переменных
и
.
Если
– независимая переменная функции
,
то при нахождении дифференциала второго
порядка, то есть дифференциала от
дифференциала
,
дифференциал
независимой переменной считается
постоянной величиной
и его можно вынести за знак дифференциала
или производной. В результате получим
(Для
упрощения записи
записывают
как
)
По индукции получим
(1)
Из (1) следует, что
(2)
Отметим следующие свойства дифференциала n-го порядка:
а)
б)
в)
Эти свойства непосредственно следуют из соответствующих свойств производной.
Рассмотрим теперь
сложную функцию
,
.
По определению
дифференциала имеем
.
Используя правило дифференцирования сложной функции, получим
или
где
.
Итак,
.
(3)
Из (3) видно, что форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли переменная независимой или зависимой. Это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.