§3. Дифференцируемость функции. Дифференциал
Определение 1.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
и
принадлежит этой окрестности. Функция
называется дифференцируемой в точке
,
если из ее приращения в этой точке можно
выделить главную линейную относительно
часть, то есть представить приращение
функции в виде
. (1)
Здесь
– некоторое число (оно может быть
неодинаковым в разных
точках
),
а
Определение 2.
Линейная
часть приращения функции в точке
называется дифференциалом функции в
этой точке. Обозначается
то есть
. (2)
Пример 1. Найти
дифференциал функции
в точке
.
Решение.
Функция
,
дифференцируемая в каждой точке области
определения.
Теорема. Для того, чтобы функция имела производную в точке , необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.
Доказательство. Пусть производная в точке существует, то есть
линейная часть
приращения функции. Необходимость
доказана.
Пусть теперь функция дифференцируемая, то есть справедливо (1). Тогда из (1)
Переходя к пределу, найдем
, (3)
то есть производная существует. Достаточность доказана. Теорема доказана.
Если
,
то
линейная
часть приращения, то есть
дифференциал
независимой переменной. Учитывая это
и равенство (3), перепишем (2) так:
. 
Из
найдем, что
,
то есть производная функции есть
отношение дифференциалов функции и
независимого аргумента.
Пример 2.
Найти
и
Решение. Согласно , получим
Поскольку
,
а
то (1) можно переписать так:
. 
Заметим, что
– уравнение касательной к кривой
в точке
,
а равенство
является асимптотическим, то есть
~
при
.
(4)
Равенство (4) означает, что кривую в окрестности точки можно заменить на отрезок касательной (линеаризовать). Погрешность при такой замене является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с в точке .
Рассмотрим
геометрический смысл дифференциала. 
Из рисунка видно, что
.
То
есть, дифференциал функции
в
– есть
приращение ординаты касательной к
кривой
в точке
.
Перепишем (1) в виде
~
, 
то есть с точностью
до бесконечно малой высшего порядка по
сравнению с
значение функции в точке
можно вычислить, зная
и
.
Пример 3.
Вычислить приближенно
Решение. Рассмотрим функцию
Воспользуемся (5).
~
Итак,
≈1,004.
§4. Правила вычисления производной и дифференциала
Пусть функции
и
определены в
некоторой окрестности точки
.
Теорема. Если каждая из функций и имеют производную в точке , то сумма, произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, причем
1)
2)
3)
Доказательство. Докажем третье утверждение теоремы (первое и второе утверждения доказать самостоятельно).
Дадим приращение
аргументу, тогда функции
и
получат приращения
и
.
Введем обозначение
и найдем
Теорема доказана.
Следствие 1.
Постоянную
можно выносить за знак производной.
Действительно,
так как
.
Следствие 2. В условиях теоремы имеют место равенства
1)
2)
3)
Докажем, например, 2).
что и требовалось
доказать.
Пример 1.
Найти
производную.
Решение.
Пример 2. Функции
называют
гиперболическими
синусом и косинусом соответственно
(см. рис.).
Аналогично найдем
.
Упражнение.
Доказать,
что
Пример 3.
Или согласно следствию 2
