Абсолютні показники варіації

Розмах варіації (R):

R = x_max - x_min. (1.7)

Середнє лінійне відхилення зважене ( ):

. (1.8)

Середнє квадратичне відхилення зважене (σ):

. (1.9)

Дисперсія зважена (σ² – середній квадрат відхилення):

. (1.10)

Якщо σ = 1,25 або R = 6·σ = ± 3σ, то розподіл є симетричним, близьким до нормального.

Відносні показники варіації

Коефіцієнт осциляції (V_R):

*100 (%). (1.11)

Лінійний коефіцієнт варіації ( ):

*100 (%). (1.12)

Квадратичний коефіцієнт варіації (V_σ):

*100 (%). (1.13)

Якщо V_σ < 33%, то сукупність є однорідною, а середня – типовою.

Коефіцієнт асиметрії (А):

. (1.14)

Якщо А > 0, то асиметрія правостороння, А < 0 – асиметрія лівостороння, < 0,25 – асиметрія низька, 0,25 < < 0,5 – асиметрія середня, > 0,5 – асиметрія висока.

Завдання 2

Задача 1

Виявити наявність і напрям кореляційного зв'язку між факторною і результативною ознаками для вибірки, що задана згідно з варіантом у додатку А, таблиці А 1 та А 2, використовуючи способи: побудови поля кореляції; паралельного порівняння рядів х та у за допомогою коефіцієнта Фехнера та коефіцієнта кореляції рангів Спірмена; аналітичного групування. Зробити висновки.

Задача 2

Оцінити щільність зв'язку між ознаками х та у за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції Пірсона та перевірити його істотність використовуючи t-критерій Стьюдента для рівня значущості α = 0,05.

Задача 3

Оцінити щільність кореляційного зв'язку шляхом обчислення емпіричного кореляційного відношення і оцінити істотність зв'язку за допомогою коефіцієнта детермінації. Зробити висновки.

Задача 4

У випадку, якщо зв'язок між ознаками лінійний, визначити параметри а та b теоретичного рівняння регресії та побудувати його графік.

Методичні рекомендації до виконання завдання 2

Задача 1

Статистичні методи дослідження зв'язків дозволяють виявити наявність зв'язку між ознаками, особливості його прояву в певних умовах, кількісно охарактеризувати залежність між х та у.

Виконуючи цю роботу слід пам'ятати, що при стохастичному зв'язку кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень результативної ознаки у, які утворюють так званий умовний розподіл результативної ознаки.

Для відповіді на питання про наявність чи відсутність кореляційного зв'язку між ознаками використовується ряд спеціальних способів, серед яких: графічне зображення фактичних даних за допомогою поля кореляції; паралельне порівняння рядів значень результативної та факторної ознаки за допомогою коефіцієнта Фехнера та коефіцієнта кореляції рангів Спірмена; аналітичне групування.

Коефіцієнт Фехнера (Кф):

(2.1)

де С – число співпадінь знаків відхилень від середньої;

Н – число неспівпадінь знаків відхилень від середньої.

Якщо значення x або y більше чи дорівнює середній, йому присвоюється знак ” +”, в протилежному випадку – знак ”-”. В тому випадку, коли за обома показниках знаки однакові, має місце їх співпадіння, а коли вони різні – неспівпадіння.

Коефіцієнт Фехнера знаходиться в межах від -1 до +1. Якщо , зв'язок між показниками слабкий, а при - зв'язок тісний. Цей коефіцієнт має додатне значення при наявності прямого зв'язку, та від'ємне – при оберненому.

Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена:

(2.2)

де d = r_х-r_у – різниця рангів факторного та результативного показників.

При цьому під рангом (1,2,3 і т. д.) розуміють порядковий номер значення показника у порядку зростання або зменшення.

Коефіцієнт кореляції рангів також змінюється від -1 до + 1. При , зв'язок між показниками прямий, а при - обернений. Якщо коефіцієнт наближається до 1, між показниками існує тісний (щільний) зв'язок, якщо він менше 0,3 вважається, що взаємозв'язок практично відсутній.

При використанні способу аналітичних групувань рекомендується використати групування даних за факторною ознакою на рівні закриті інтервали, обчислені групові середні х_і (середини інтервалів) здійснені в завданні 1.

Результати розрахунків представити в табличній формі:

Таблиця 4

Аналітична таблиця вивчення взаємозв'язку між ознаками

Групи за абсолютним приростом витрат, грн.	Середина інтервалу, xі, грн.	Частота в групі, f	Середнє збільшення кількості угод , які було укладено працівниками рекламних агентств (середнє значення ознаки у в групі),
…		…	…
Разом		20

, (2.3)

де - сума значень ознаки у в m – ій групі;

- частота ознаки у в m – ій групі.

Задача 2

Для оцінювання щільності кореляційного зв'язку між ознаками у випадку парної залежності використати лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона (r):

(2.4)

Лінійний коефіцієнт кореляції може набувати будь-яких значень в межах від -1 до +1. Чим ближчий цей показник до 0, тим слабкіший зв'язок, а чим ближчий до ±1, тим зв'язок сильніший. Знак при цьому вказує напрямок зв'язку: '' + '' — прямий зв'язок, '' - " — зворотний.

За шкалою Чеддока, якщо:

1) r=0,1-0,3, то зв'язок слабкий;

2) r= 0,3-0,5, то зв'язок помірний;

3) r= 0,5-0,7, то зв'язок помітний;

4) r= 0,7-0,9, то зв'язок високий;

5) r= 0,9-0,99, то зв'язок надто високий.

Для розрахунку лінійного коефіцієнта кореляції Пірсона доцільно використати допоміжну таблицю 5.

Таблиця 5

Допоміжні дані для розрахунку лінійного коефіцієнта кореляції

№ з/п	Значення ознаки		Розрахункові значення
	хі	уі	хі·уі	хі2	уі2
…	…	…	…	…	…
Разом

Для перевірки істотності одержаного лінійного коефіцієнта кореляції використати t-критерій Стьюдента:

(2.5)

Одержане значення t-критерію Стьюдента порівнюють з табличним для k= (n -2) ступенів свободи і рівня значущості α = 0,05.

Якщо розраховане значення t-критерію більше, ніж відповідне табличне значення, то лінійний коефіцієнт r вважають суттєвим. Табличне значення t-критерію можна побачити в додатку В, таблиця В 1.

Задача 3

Коефіцієнт кореляції досить точно оцінює ступінь щільності зв'язку лише у випадку лінійної залежності. В інших випадках доцільно застосовувати емпіричний коефіцієнт детермінації η² та емпіричне кореляційне відношення η :

(2.6)

де - міжгрупова дисперсія;

- загальна дисперсія результативної ознаки у сукупності.

Загальна дисперсія :

(2.7)

де - середня з квадратів індивідуальних значень у в сукупності;

- квадрат загальної середньої із індивідуальних значень у в сукупності.

Міжгрупова дисперсія:

(2.8)

Для розрахунку міжгрупової дисперсії доцільно використати допоміжну таблицю 6.

Таблиця 6

Допоміжні дані для розрахунку міжгрупової дисперсії

Групи за абсолютним приростом витрат, грн.	Частота в групі, од., f	Середнє значення ознаки у в групі,.
Разом	20

При аналізі цих показників необхідно враховувати те, що показники оцінки щільності зв'язку між ознаками мають такі спільні властивості:

1) за відсутності будь-якого зв'язку значення коефіцієнта наближається до 0, при функціональному зв'язку — до 1;

2) за наявності кореляційного зв'язку коефіцієнт виражається дробом, значення якого може змінюватися (за модулем) від 0 до 1, причому чим більший коефіцієнт за абсолютною величиною, тим щільніший зв'язок.

3) у випадку лінійної залежності лінійний коефіцієнт кореляції та емпіричне кореляційне відношення збігаються за абсолютною величиною;

4) якщо зв'язок нелінійний, то η>r;

5) якщо різниця між η та r не перевищує 0,1 — гіпотезу про прямолінійний зв'язок можна вважати підтвердженою.

Для якісної характеристики щільності зв'язку на основі емпіричного кореляційного відношення використовують характеристики, подані у додатку В, таблиця В 2.

Щоб переконатися, що зв'язок виник не випадково, необхідно перевірити його істотність – порівняти фактичне значення η² з його критичним значенням η²_1-α(k₁, k₂) для певного рівня істотності α та числа ступенів свободи k₁=m-1 та k₂= n-m, де m - число груп; n – обсяг сукупності. Якщо η²> η²_1-α(k₁, k₂), то зв'язок визнається істотним. Критичні значення кореляційного відношення для α = 0,05 наведені у додатку В, таблиця В 3.

Задача 4

Параметри а та b теоретичного лінійного рівняння регресії ŷ = а + bх одержують за допомогою формул:

b = (2.9)

а = - b (2.10)

При виконанні цієї частини завдання особливу увагу необхідно звернути на інтерпретацію параметрів лінійного рівняння регресії а та b. Параметр b, що називається коефіцієнтом регресії, показує на скільки одиниць власного виміру змінюється середнє значення результативної ознаки зі збільшенням факторної ознаки на одиницю її виміру. За наявності прямого кореляційного зв'язку коефіцієнт регресії буде додатним, а у випадку оберненої залежності — від'ємним. Параметр а — теоретичне значення ŷ для х = 0, якщо 0 знаходиться в межах фактичної варіації ознаки х. В іншому випадку параметр а не має реального змісту.