4. Исследовать ряд на сходимость.

Вариант 1.	Вариант 2.
Вариант 3.	Вариант 4.
Вариант 5.	Вариант 6.
Вариант 7.	Вариант 8.
Вариант 9.	Вариант 10.
Вариант 11.	Вариант 12.
Вариант 13.	Вариант 14.
Вариант 15.	Вариант 16.
Вариант 17.	Вариант 18.
Вариант 19.	Вариант 20.
Вариант 21.	Вариант 22.
Вариант 23.	Вариант 24.
Вариант 25.	Вариант 26.
Вариант 27.	Вариант 28.
Вариант 29.	Вариант 30.

Методические указания к решению задач неопределенные интегралы и их свойства

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если

Можно показать, что все первообразные для функции f(x) отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е. все первообразные можно записать в виде F(x) + C, где C – произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым интегралом и обозначается следующим образом:

.

При этом f(x) называется подынтегральной функцией.

Свойства неопределенного интеграла

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Если , то

.

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ.

1 ) .

2) , если α ≠ -1. Напомним, что .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) ^.

15) .

16)

17)

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

Здесь мы использовали свойства 4 (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла) и 5 (интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций), а также формулы 1, 2, 3, 7.

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл .

.

Для вычисления интеграла от первого слагаемого использовалась формула 2 и то, что :

.

При вычислении интеграла от последнего слагаемого была использована формула 14 при а = 3.

Внесение под знак дифференциала

Одним из основных методов интегрирования является внесение функции под знак дифференциала. При его применении используется свойство 6.

ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл .

Под интегралом стоит функция от (x² + 9) и x в первой степени. Так как , умножим и разделим выражение под интегралом на 2 и заменим 2xdx на d(x² + 9). Получим

Если обозначить , то можно заметить, что получился табличный интеграл (формула 2). Вычислим его и вернёмся к переменной x.

ПРИМЕР 4. Вычислить интеграл .

ПРИМЕР 5. Вычислить интеграл .

ПРИМЕР 6. Вычислить интеграл .

ПРИМЕР 7. Вычислить интеграл .

ПРИМЕР 8. Вычислить интеграл .