- •Глава 1. Понятие модели. Чем замечательны модели математические
- •1.1. Что будем называть моделью и моделированием
- •1.2. Наука, научное знание, систематизации научных моделей
- •1.3. Обман чувств и интуиция. Спасение математикой
- •1.4. Сколько моделей может быть у одного объекта
- •1.6. Структурная схема процесса математического моделирования
- •1.7. Выводы из исторической практики моделирования. Показательная судьба моделей механики
- •Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз (вероятностный и динамический)
- •2.1. Основные понятия и особенности динамического моделирования
- •2.1.1. Определение динамической системы
- •2 .1.3. Фазовое пространство. Консервативные и диссипативные системы. Аттракторы, мультистабильность, бассейны притяжения
- •2.1.5. Пространство параметров. Бифуркации. Комбинированные пространства, бифуркационные диаграммы
- •2.2.4. Случайность как непредсказуемость
- •Глава 3. Динамические модели эволюции
- •3.1.1. Оператор, отображение, уравнение, оператор эволюции
- •3.1.2. Функции, непрерывное и дискретное время
- •3.1.4. Потоки и каскады, сечение и отображение Пуанкаре
- •3.5.2. Популярный класс модельных уравнений – осцилляторы
- •3.7.3. Дифференциальные уравнения с запаздыванием
- •4 .4. Процессы авторегрессии – скользящего среднего
- •4.5. Стохастические дифференциальные уравнения и белый шум
2.2.4. Случайность как непредсказуемость
С лучайность или детерминированность процесса связывается с возможностью его предсказания с помощью имеющейся модели. Пусть имеется регистрируемый процесс x(t) и модельный процесс z(t). Зададим модельный процесс так, чтобы z0 = x0 , а качество прогноза оценивать разницей x(t) − z(t) = Δ(t) – ошибкой прогноза, Δ(t0) =0. Мерой степени предсказуемости могут выступать: 1) средний квадрат ошибки; 2) взаимная корреляционная функция исходного и модельного процессов. Качество предсказуемости можно выразить через различные схожие величины. Оценка процесса как случайного или детерминированного определяется возможностью его предсказания с помощью имеющейся модели. Случайно то, что мы по какой-то причине не можем предсказать.
2.3. Концепция частичной детерминированности основана на соглашении, что в качестве признака случайности (детерминированности) выбирается непредсказуемость (предсказуемость) наблюдаемого процесса x(t) на основе определенной прогностической модели z(t). В качестве величины, характеризующей степень детерминированности (предсказуемости) удобно использовать взаимную корреляцию . D – область полной детерминированности; DC – область частичной детерминированности, C – область непредсказуемого поведения. Время, при котором степень предсказуемости спадает до определенной пороговой величины, называют временем детерминированного поведения. Для реальной системы оно ограничено, т.к.: 1) измерительный шум; 2) неучтенные внешние воздействия - «динамический шум», неслучайный, можно ввести в модель как поправку; 3) модель не адекватно отражает свойства объекта - «шумы незнания». «Горизонт предсказуемости» . При его превышении D(τ)->0.
П опулярна оценка , - ширина спектра. При - белый шум.
2.4. Λ и пределы предсказуемости Если исследуемый процесс – хаотический, то дальность прогноза связана со скоростью разбегания близких траекторий. Она определяется величиной его старшего ляпуновского показателя Λ1. ϭ2x – дисперсия наблюдаемой величины, соотв – измерительного шума, динамического шума и погрешности модели («шумов незнания»), а Λ1 положителен. 2.5. Масштабы рассмотрения: Если при анализе реального процесса в некотором интервале масштабов ляпуновский показатель постоянен, то в этом интервале приближение разумно рассматривать как детерминированное. Если Λ(ε) растет с уменьшением ε, нужно рассматривать приближение как шум (случайный процесс). 2.6. Пример с монетой (чит. соотв. §)
Глава 3. Динамические модели эволюции
3.1.1. Оператор, отображение, уравнение, оператор эволюции
Динамическое моделирование подразумевает задание D-мерного вектора состояния x=(x1, x2,..., xD), где xk – динамические переменные, и указание правила Фt, позволяющему по начальному состоянию x(0) однозначно определить состояние в будущем x(t)= Фt(x(0)). Фt – оператор эволюции. Оператор – то же, что отображение. Отображение – закон, по которому каждому элементу x некоторого заданного множества X однозначно сопоставляется определенный элемент y множества Y. Если один элемент мн-ва Х отображается в другой эл-т мн-ва Х – это отображение в себя.
Оператор эволюции может быть задан непосредственно – как отображение множества начальных состояний x(0) в множество состояний в последующие моменты x(t) , но чаще это делается с помощью уравнений. Уравнение – запись задачи о разыскании элементов a некоторого множества A, которые удовлетворяют равенству F(a) = G(a), где F и G - заданные отображения множества A в множество B. Если задано уравнение, то оператор эволюции может быть получен путем его решения. Если А и В – численные множества, то возникают алгебраические и трансцендентные уравнения. Если А и В – множества функций, то в зависимости от характера отображений получают дифференциальные, интегральные и другие уравнения.
Для обыкновенного дифференциального уравнения теорема о существовании и единственности решения гарантирует существование и взаимную однозначность отображения Фt. Иногда удается найти его аналитически. Чаще это невозможно, и решение ищут приближенно в виде численного алгоритма, реализующего движение изображающей точки в фазовом пространстве.