Дифференциальные уравнения движения точки

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил  , ,..,  . Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис. 2). Про­ектируя обе части равенства   на эти оси и учитывая, что   и т. д., получим дифферен­циальные уравнения криволинейного дви­жения точки в проекциях на оси прямо­угольной декартовой системы координат:

,   ,  .

   

                       

  

Так как действующие на точку силы мо­гут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости  . При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при 

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений найдем координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. найдем закон движения точки.

Задачи динамики для свободной и несвободной мате­риальной точки. (Первая и вторая задачи динамики)

Для свободной материальной точки задачами дина­мики являются следующие: 1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу(первая задача динамики); 2) зная дей­ствующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая или основная задача динамики).

Решаются обе эти задачи с помощью уравнений, вы­ражающих основной закон динамики, так как эти уравнения связывают ускорение   т.е. величину, характеризующую движение точки, и действующие на нее силы.

В технике часто приходится сталкиваться с изучением несвобод­ного движения точки, т.е. со случаями, когда точка, благодаря на­ложенным на нее связям, вынуждена двигаться по заданной неподвиж­ной поверхности или кривой.

В этих случаях, как и в статике, будем при решении задач исхо­дить из аксиомы связей, согласно которой всякую несвободную ма­териальную точку можно рассматривать как свободную, отбросив связь и заменив ее действие реакцией этой связи  . Тогда основной закон динамики для несвободного движения точки примет вид: 

,                 

где   -действующие на точку активные силы.

Первая задача динамики для несвободного движения будет обычно сводиться к тому, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи.

Пример решения первой задачи динамики: Лифт весом Р (рис.1) начинает подниматься с ускоре­нием  . Определить натяжение троса.

 

Рассматривая лифт как свободный, заменяем действие связи (троса) реакцией Т и, составляя уравнение   в проекции на вертикаль, получаем: 

.

Отсюда находим:  .

Если лифт начнёт опускаться с таким же ускорением, то натяжение троса будет равно:

.