3.Свойства неопределенных интегралов.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:F(x) + C. Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

Дифференц. от неопределенного интегр. равен подынтегральному выражению, а производная неоперделен. интегр. равна подынтыгр. ф-ции

Неопределенный интеграл от дифференц. нек. ф-ции равен сумме этой ф-ции и произвол. постоянной.

, где u, v, w – некоторые функции от х.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4.Геометрический смысл и определение определенного интеграла.

Определенным интегралом функции f(x) от a до b называют разность значений первообразной этой функции в точках a и b.

Формула Ньютона-Лейбница:

.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0X, прямыми и и графиком неотрицательной функции на отрезке находится по формуле:

.

сфоткано!

5.Связь определенного и неопределенного интеграла.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:F(x) + C. Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Определенным интегралом функции f(x) от a до b называют разность значений первообразной этой функции в точках a и b.

6.Основные сво-ва определенного интеграла.

О пределенным интегралом функции f(x) от a до b называют разность значений первообразной этой функции в точках a и b.

Формула Ньютона-Лейбница:

Свойства:

1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и . Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется .

Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства. 2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то . Док-во. Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка [a,b] , чтобы точка c являлась одним из узлов x_i: c = x_i0, . Тогда. В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и . ФОТО!!

7.Теорема о среднем значении определенного интеграла.

Определенным интегралом функции f(x) от a до b называют разность значений первообразной этой функции в точках a и b.

Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что . Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда .

Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что . Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) .