9.Обобщение понятия предела функции.

10.Непрерывность и разрывы функции.

Пусть функция определена на некотором интервале , для которого  -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть функция определена на некотором полуинтервале , для которого  -- левый конец. Функция называется непрерывной справа в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть, наконец, функция определена на некотором полуинтервале , для которого  -- правый конец. Функция называется непрерывной слева в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Точка называется точкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки (то есть определена на некотором интервале, для которого служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева ; 2) не существует предела справа ;

11.Первый замечательный предел.

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к 0.

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

12.Второй замечательный предел.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [x] - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

4 Глава.

1.Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.Свойства первообразной

1.Первообразная суммы равна сумме первообразных

2.Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

3.Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке

4.Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу

5.У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную

Неопределенный интеграл.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

2.Таблица неопределенных интегралов. Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:F(x) + C. Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.