- •2. Классификация моделей
- •Классификация математических моделей
- •3. Численные методы решения
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Отделение корней или нахождение начального приближения к корню.
- •3.1.2. Метод деления отрезка пополам
- •3.1.3. Метод хорд
- •3.1.4. Метод касательных
- •3.2. Решение систем линейных уравнений
- •3.2.1. Метод Крамера
- •3.2.2. Решение слау с использованием MathCad.
- •Решение систем уравнений в среде MathCad
- •3.3. Численное интегрирование
- •3.3.1. Формула прямоугольников
- •3.3.2. Формула трапеций
- •3.3.3. Вычисление интеграла методом Монте-Карло
- •3.4. Численное дифференцирование
- •Задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
- •4. Методы обработки экспериментальных данных
- •4.1. Приближение функций
- •Интерполяция обобщенными многочленами.
- •Полиноминальная интерполяция.
- •4.2. Элементы корреляционного и регрессионного анализа
- •4.3. Приближение функций с помощью метода наименьших квадратов
- •5. Оптимизация
- •5.1. Постановка задач принятия оптимальных решений
- •5.2. Линейное программирование
- •5.2.1. Постановка задачи и применение в лесном деле
- •Математическая статистика
4.3. Приближение функций с помощью метода наименьших квадратов
Пусть в результате изменений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f:
x |
x1 |
x2 |
…. |
xn |
f(x) |
y1 |
y2 |
…. |
yn |
Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. То есть найти функцию заданного вида y=F(x) (*), которая в точках x1, x2, …, xn принимает значения как можно ближе к табличным значениям y1, y2, …, yn.
Практический вид приближающей функции F можно определить следующим образом. По таблице строится точечный график функции f, а затем проводится кривая по возможности наилучшим образом приближающая характер расположения точек.
По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции. Формула (*) называется уравнением регрессии y на x.
Рассмотрим один из распространенных способов нахождения формулы (*). Предположим, что приближающая функция F в точках x1, x2, …, xn имеет значение y1*, y2*, …, yn* (**). Требование близости табличных значений y1, y2, …, yn и значений y1*, y2*, …, yn* можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность точек таблицы и (**) как координаты двух точек n-мерного пространства М и M*. Задачу формируем таким образом: найти такую функцию F заданного вида, чтобы расстояние между точками M(y1, …, yn) и M*(y1*, …, yn*) было наименьшим, .т.е
что равносильно
Эта задача носит название приближения функции методом наименьших квадратов.
В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:
Здесь a, b, c – параметры
Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.
Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающих функции с тремя параметрами:
Имеем
i=1, …, n
Найдем параметры. Используем необходимое условие экстремума.
То есть
Решив эту систему 3 уравнений с 3 неизвестными относительно параметров a, b, c, мы получим конкретный вид функции F(x,a,b,c).
Естественно ожидать, что значения найденной функции F(x) в точках x1, x2, …, xn будут отличаться от табличных значений y1, y2, …, yn. Значения разностей yi-F(xi,a,b,c)= i называются отклонениями эмпирической формулы должно быть наименьшей.
2.6.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратного трехчлена (линейная и квадратичная регрессии)
Введем обозначения:
(*)
Решив систему получим значения параметров a и b, следовательно конкретный вид линейной функции.
В случае нахождения приближающей функции в виде квадратного трехчлена:
(**)
Решение системы (**) дает значение параметров a, b, c для корректной квадратичной функции. Аналогично могут быть найдены функции в виде других элементарных функций.