- •2. Классификация моделей
- •Классификация математических моделей
- •3. Численные методы решения
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Отделение корней или нахождение начального приближения к корню.
- •3.1.2. Метод деления отрезка пополам
- •3.1.3. Метод хорд
- •3.1.4. Метод касательных
- •3.2. Решение систем линейных уравнений
- •3.2.1. Метод Крамера
- •3.2.2. Решение слау с использованием MathCad.
- •Решение систем уравнений в среде MathCad
- •3.3. Численное интегрирование
- •3.3.1. Формула прямоугольников
- •3.3.2. Формула трапеций
- •3.3.3. Вычисление интеграла методом Монте-Карло
- •3.4. Численное дифференцирование
- •Задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
- •4. Методы обработки экспериментальных данных
- •4.1. Приближение функций
- •Интерполяция обобщенными многочленами.
- •Полиноминальная интерполяция.
- •4.2. Элементы корреляционного и регрессионного анализа
- •4.3. Приближение функций с помощью метода наименьших квадратов
- •5. Оптимизация
- •5.1. Постановка задач принятия оптимальных решений
- •5.2. Линейное программирование
- •5.2.1. Постановка задачи и применение в лесном деле
- •Математическая статистика
3.1.2. Метод деления отрезка пополам
Метод является простейшим и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке [ab].
Пусть задана функция f(x), необходимо решить уравнение f(x)=0. Функция f(x) непрерывна на отрезке [ab] и f(a)*f(b) <0.
Для нахождения корня отрезок [ab]делим пополам .
Если , то является корнем уравнения.
Если , то выбираем тот отрезок [aс] или [сb] на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки.
Новый уменьшенный отрезок (например [сb]) снова делим пополам и т.д.
В результате на каком-то этапе получаем либо точный корень, либо последовательное приближение к корню.
3.1.3. Метод хорд
Постановка задачи
Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a,b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.
Для нахождения корня заменим график функции F(x) на отрезке [a,b] хордой, проходящей через точки [a,f(a)], [b,f(b)].
Пусть точка c есть точка пересечения хорды [a,f(a)], [b,f(b)] и оси X. Точка c и есть первое приближение к корню уравнения.
Пусть f(c) * f(b) < 0. Затем проводим хорду [c,f(c)], [b,f(b)] и т.д. Но это графическое решение, необходимо получить математическую формулу.
Математическая формула
Уравнение прямой, проходящей через две точки [a,f(a)], [b,f(b)].
y = 0
Точка пересечения хорды [a,f(a)], [b,f(b)] с осью X есть
Эта и есть расчетная формула в методе хорд. Далее применяем этот метод к тому из отрезков [a,c] or [c,b], на концах которой функция принимает разный знак и получаем второе приближение и т.д.
3.1.4. Метод касательных
Постановка задачи
Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a,b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.
У равнение касательной в точке имеет вид
П ри пересечении оси X Y = 0
Выражая из формулы xn+1, получим расчетную формулу
Преимущества метода – быстрая сходимость
Недостаток – требует вычисления производной.
3.2. Решение систем линейных уравнений
Успешное решение большинства научно-технических задач в значительной степени зависит от умения быстро и точно получать решение систем линейных алгебраических уравнений. Кроме того, многие методы решения линейных задач также сводятся к решению некоторой последовательности линейных систем. В настоящее время хорошо разработан арсенал численных методов решения СЛАУ на ЭВМ.
Многообразие численных методов решения СЛАУ можно разделить на прямые и итерационные.
ПРЯМЫЕ методы характеризуются тем, что дают решение системы за конечное число арифметических операций. К ним относятся: метод Крамера, метод Гаусса и др. Прямые методы применяются на практике для решения СЛАУ на ЭВМ, как правило, с числами порядка не выше 10.
ИТЕРАЦИОННЫЕ являются приближенными. Они дают решение системы как предел последовательных приближений, вычисляемых по однообразной схеме. К ним относятся: метод простой итерации, метод Зейгеля и др. На практике итерационные методы применяются для решения систем с числами порядка 10.
Рассмотрим систему m линейных АУ с n неизвестными
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn=b1
………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn=bm
Которая может быть записана в матричном виде A*X=B, где
A= , X= , B=
матрица матрица матрица
коэффициентов неизвестных свободных
системы членов
Решением системы называется такая упорядоченная совокупность чисел х1=с1, х2=с2, …, xn=cn, которая обращает все уравнение системы в верные равенства.
Система ЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если более одного решения.