Содержание и структура учебной дисциплины Описание лекционных занятий (34 часа)

Матрицы и определители (6 часов)

Матрицы. Определение матрицы. Операции над матрицами. Свойства операций.

Определители. Понятие определителя. Мнемонические правила вычисление определителя. Разложение определителя по строке (столбцу). Свойства определителя.

Обратная матрица. Определение обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы.

Системы линейных алгебраических уравнений. Понятие -системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись -системы. Определение решения -системы. Понятие крамеровской системы. Методы решения крамеровской системы.

Линейное пространство (6 часов)

Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: множество геометрических векторов, множество -мереных столбцов (строк), множество матриц одного размера, множество многочленов не выше -й степени. Линейная зависимость векторов. Эквивалентные системы векторов. Теорема о замене.

Базис. Определение базиса линейного пространства. Размерность линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств. Матрица перехода при замене базиса. Связь координат вектора в разных базисах. Определение линейного подпространства. Линейная оболочка векторов.

Применение теории линейных пространств к исследованию СЛАУ. Определение ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга. Равенство ранга матрицы числу линейно независимых строк (столбцов). Элементарные преобразования матрицы. Алгоритм Гаусса нахождения ранга. Понятие общего решения -системы. Равносильные -системы. Базисные и свободные неизвестные. Условия совместности или несовместности -системы. Метод Гаусса исследования совместности -системы и нахождения общего решения. Линейное свойство решений однородной -системы. Фундаментальная система решений. Общее решение однородной -системы. Общее решение неоднородной -системы.

Элементы векторной алгебры (2 часа)

Прямоугольная декартовая система координат. Орт вектора. Правая тройка векторов. Ортогональная проекция вектора на направление другого вектора. Определение прямоугольной декартовой системы векторов. Нахождение координат вектора, заданного двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении.

Скалярное произведение. Определение и свойства скалярного произведения. Вычисление скалярного произведения в прямоугольной системе координат.

Векторное произведение. Определение и свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в прямоугольной системе координат.

Смешанное произведение. Определение и свойства смешанного произведение. Вычисление смешанного произведения в прямоугольной системе координат.

Элементы аналитической геометрии (6 часов)

Плоскость. Определение плоскости (параметрическое уравнение плоскости). Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение точек относительно плоскости.

Прямая. Определение прямой (параметрическое уравнение прямой). Каноническое уравнение прямой. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Взаимное расположение точек плоскости относительно прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола: канонические уравнения, фокальные и директориальные свойства.

Поверхности второго порядка. Канонические уравнения. Сечения поверхностей плоскостями.

Евклидовы пространства (4 часов)

Определение евклидова пространства. Аксиоматическое определение скалярного произведения. Понятие нормы. Примеры эвклидовых пространств.

Ортонормированный базис. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации Шмидта. Ортонормированная система векторов. Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе. Изоморфизм эвклидовых пространств. Ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Линейные операторы (6 часов)

Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора. Примеры линейных операторов. Связь столбцов-координат вектора и его образа. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Невырожденные линейные операторы.

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Инвариантные подпространства. Определение собственного вектора и собственного значения. Характеристический многочлен, его независимость от базиса. Нахождение собственных значений и собственных векторов. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Матрица линейного оператора в базисе, составленном из собственных векторов. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к базису, составленному из собственных векторов.

Самосопряженный линейный оператор. Сопряженный линейный оператор. Определение самосопряженного оператора. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора. Ортогональность данных векторов.

Квадратичные формы (4 часа)

Определение квадратичной формы. Эквивалентные квадратичные формы. Канонический вид квадратичной формы. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы. Критерий угловых миноров.

Исследование уравнений второго порядка. Уравнения второго порядка общего вида. Сведение этих уравнений к каноническому типу.