2.3. Модель Штакельберга

Ця модель (1934) використовується для аналізу галузей, в яких існує домінуюча фірма (лідер), що першою визначає максимізуючий прибуток обсяг випуску. В той же час економічно слабші фірми (аутсайдери) коректують свої виробничі рішення щодо обсягу виробництва з огляду на поведінку лідера.

Інструментами моделі є крива реакції фірми (фірм) аутсайдерів та ізопрофіти.

Припустимо, що на ринку діє лише два учасники: фірма-лідер з обсягом випуску q₁ та фірма-аутсайдер з обсягом випуску q₂. Спочатку виведемо формулу кривої реакції аутсайдера q₂ =f(q₁) для випадку лінійної функції попиту і нульових граничних витратах.

Умовою максимізації прибутку фірми-аутсайдера є рівність її граничної виручки і граничних витрат:

MR₂ = MC₂

MR₂ = (TR₂)´ = (Pq₂)´ = ((a – b(q₁ + q₂))q₂)´ = (aq₂ – bq₂² - bq₁q₂)´ = a – 2bq₂ – bq₁

a – 2bq₂ – bq₁=0

q₂= .

За даною формулою будуємо криву реакції фірми-аутсайдера (рис. 11.3).

Рис.11.3. Модель Штакельберга

Функція прибутку фірми-аутсайдера має наступний вигляд:

π₂ = [a – b(q₁ + q₂)]q₂ = aq₂ – bq₂² - bq₁q₂

За допомогою даної формули можна побудувати ізопрофітні лінії аутсайдера для певних значень прибутку в системі координат q₁ , q₂ на тому ж рисунку 11.3.

Ізопрофітні лінії – це лінії, що відображає комбінації випусків дуополістів, які приносять одній із фірм постійний рівень прибутку. Ізопрофіти, які розміщені ближче до осей координат, відповідають вищому рівню прибутку.

Таким чином, користуючись кривою реагування, можна визначити обсяг випуску фірми-аутсайдера, який максимізує його прибуток за прийнятого лідером обсягу виробництва.

Аналогічно можна вивести функцію прибутку фірми-лідера і побудувати на її основі ізопрофіти цієї фірми:

π₁ = [a – b(q₁ + q₂)]q₁ = aq₁ – bq₁² - bq₁q₂

Тепер проілюструємо графічно спосіб знаходження рівноважної точки за Штакельбергом. Для цього необхідно знайти точку дотику кривої реакції аутсайдера з ізопрофітом фірми лідера , який забезпечує йому найбільший прибуток. В нашому випадку це точка Ш.

Аналітично параметри рівноваги Штекельберга знаходимо із умови максимізації фірми-лідера:

MR₁ = MC₁

У формулі сукупної виручки фірми-лідера, замість величини q₂ записуємо рівняння кривої реакції аутсайдера:

TR₁ = [a – b(q₁ + q₂)]q₁ = [a – b(q₁ + f(q₁))]q₁ = [a – b(q₁ + )] q₁ = aq₁ – bq₂² - bq₁ = .

МR₁ = (TR₁) ´ = ( )´ = , MC₁ = 0

= 0

q₁ =

Для знаходження q₂ підставляємо отримане значення випуску лідера в функцію реакції аутсайдера .

Таким чином загальний галузевий випуск буде складати q₁ + q₂ = 3a/4b.

У моделі Штакельберга лідер фактично ігнорує свою криву реакції і обирає обсяг продукції на ізопрофіті. Модель Штакельберга показує, що вигідно бути ініціатором при виборі обсягу виробництва і таким чином отримати перевагу у вигляді більшого прибутку. Прикладом галузі, в якій може спостерігатися подібна поведінка є ринок комп’ютерів із лідером “ІВМ”.